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平面図形の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学平面図形

正五角形 $ABCDE$ において、対角線 $AC$ と対角線 $BD$ の交点を $P$ とする。 $∠ APB = x^{\circ}$ であるとき、 $x$ の値を求めよ。

A

B

C

D

E

P

この問題で使うもの

多角形の角の応用（説明と入口の問題）
二等辺三角形の角（説明と入口の問題）
三角形の外角と角の組み合わせ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず正五角形の 1 つの内角の大きさを求め、対角線でできる二等辺三角形に注目しよう。

ヒント 2

$△ ABC$ と $△ BCD$ はどちらも頂角が $10 8^{\circ}$ の二等辺三角形である。三角形の外角は、隣り合わない 2 つの内角の和に等しい。

ヒント 3

$∠ BCA = 3 6^{\circ}$ 、 $∠ CBD = 3 6^{\circ}$ である。 $∠ APB$ は $△ PBC$ の外角になっている。

答えと解説

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72

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解説を読む

五角形の内角の和は
$18 0^{\circ} \times (5 - 2) = 54 0^{\circ}$
正五角形の内角はすべて等しいので、1 つの内角は
$54 0^{\circ} \div 5 = 10 8^{\circ}$
$△ ABC$ は $BA = BC$ の二等辺三角形で、 $∠ ABC = 10 8^{\circ}$ だから
$∠ BCA = (18 0^{\circ} - 10 8^{\circ}) \div 2 = 3 6^{\circ}$
同じように、 $△ BCD$ は $CB = CD$ の二等辺三角形で、 $∠ BCD = 10 8^{\circ}$ だから
$∠ CBD = (18 0^{\circ} - 10 8^{\circ}) \div 2 = 3 6^{\circ}$
$∠ APB$ は $△ PBC$ の頂点 $P$ における外角なので、隣り合わない 2 つの内角の和に等しい。
$∠ APB = ∠ PCB + ∠ PBC = 3 6^{\circ} + 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}$
したがって $x = 72$ である。

別解

正五角形の内角は $10 8^{\circ}$ 。 $△ ABC$ は $BA = BC$ の二等辺三角形で $∠ B = 10 8^{\circ}$ なので $∠ BAC = (180 - 108) \div 2 = 3 6^{\circ}$ 。同様に $△ CBD$ は $CB = CD$ 、 $∠ C = 10 8^{\circ}$ なので $∠ CBD = 3 6^{\circ}$ 。よって $∠ ABD = 108 - 36 = 7 2^{\circ}$ 。
$△ ABP$ の内角の和より $∠ APB = 180 - 36 - 72 = 7 2^{\circ}$ 。
検算: 正五角形の 5 つの頂点は同一円周上にあり、各辺に対する円周角は $3 6^{\circ}$ 。 $∠ APB$ は弧 AB と弧 CD の円周角の和 $36 + 36 = 7 2^{\circ}$ に等しく一致する。

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