正五角形 があり、対角線 を引きます。 の大きさは何度ですか。
多角形の角の応用
多角形の内角の和 と正多角形の性質を使い、正多角形の対角線のつくる角や、内角の二等分線の交わる角の大きさを求められる
前提
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- 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
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説明
多角形の内角の和 から正多角形の1つの内角を求め、正多角形の辺がすべて等しいことからできる二等辺三角形を利用して、対角線どうしが交わってできる角や、内角の二等分線が交わってできる角を求められるようになります。正五角形・正六角形の対角線の問題や、四角形・五角形の角の二等分線の問題などで使います。
なぜそうしてよいのか
角形は、1つの頂点から対角線を引くと 個の三角形に分かれるので、内角の和は です。正 角形は内角がすべて等しいので、1つの内角は になります。
正多角形では辺がすべて等しいので、となり合う2辺と1本の対角線でつくる三角形（たとえば正五角形 の三角形 ）は、 の二等辺三角形です。頂角が正多角形の内角なので、底角は と決まります。こうして対角線と辺のつくる角がわかれば、あとは三角形の角の和や外角の性質を使って、対角線どうしの交わる角も求められます。
内角の二等分線の問題では、もとの角を 、 とおくと、二等分線がつくる角は 、 になります。内角の和から の値がわかれば、、 一つ一つがわからなくても、交わる角が求められます。
手順
多角形の頂点の数 を確認し、内角の和 を求める。正多角形なら1つの内角 も求める
正多角形の辺が等しいことからできる二等辺三角形を見つけ、底角を で求める（二等分線の問題では、等しい角を 、 などの文字でおく）
求めたい角をふくむ三角形を見つけ、三角形の角の和 や外角の性質（外角 となり合わない2つの内角の和）を使う
計算して求めたい角を答える
例題
正五角形 があり、頂点はこの順に並んでいる。対角線 と対角線 の交点を とする。 の大きさは何度か求めよ。
例題の解答
手順1: 五角形の内角の和は 。正五角形の1つの内角は 。
手順2: 三角形 は の二等辺三角形で、頂角 なので、底角は 。同じように三角形 は の二等辺三角形で、。
手順3: 三角形 で、、。、、 は一直線上にあるので、 は三角形 の における外角であり、
手順4: 。
答え:
よくある誤り
内角の和を や としてしまう誤り（例: 五角形で ）。正しくは三角形は 個にしか分かれないので 。
正多角形の対角線と辺のつくる角を、内角の半分（正五角形なら ）としてしまう誤り。正しくは、その角は二等辺三角形の底角なので 。
対角線の交わる角で、求めたい角ととなりの角を取り違える誤り（例題で を三角形 の内角 と答える）。正しくは 。どちらの角を問われているか、頂点の並びで確かめる。
内角の二等分線の問題で、もとの角の和をそのまま使ってしまう誤り（例: 四角形 で のとき、二等分線の交点 について とする）。正しくは二等分した角の和は で、。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。