平面図形の問題

正五角形の内角の和は $180^{\circ }\times (5-2)=540^{\circ }$ なので、1 つの内角は
$$540^{\circ }÷5=108^{\circ }$$

$△\mathrm{ABF}$ は正三角形なので $\angle \mathrm{FAB}=\angle \mathrm{FBA}=\angle \mathrm{AFB}=60^{\circ }$、$\mathrm{AF}=\mathrm{BF}=\mathrm{AB}$ である。

$△\mathrm{AEF}$ について：$\mathrm{AE}=\mathrm{AB}=\mathrm{AF}$ より二等辺三角形で、
$$\angle \mathrm{FAE}=108^{\circ }-60^{\circ }=48^{\circ }$$
$$\angle \mathrm{AFE}=\angle \mathrm{AEF}=\frac{180^{\circ }-48^{\circ }}{2}=66^{\circ }$$

同様に $△\mathrm{BCF}$ も $\mathrm{BC}=\mathrm{BF}$ の二等辺三角形で、$\angle \mathrm{FBC}=48^{\circ }$、$\angle \mathrm{BFC}=\angle \mathrm{BCF}=66^{\circ }$。

さらに、$△\mathrm{AEF}$ と $△\mathrm{BCF}$ は $\mathrm{AE}=\mathrm{BC}$、$\mathrm{AF}=\mathrm{BF}$、$\angle \mathrm{FAE}=\angle \mathrm{FBC}$ より合同なので $\mathrm{FE}=\mathrm{FC}$ である。

$△\mathrm{FED}$ と $△\mathrm{FCD}$ において
- $\mathrm{FE}=\mathrm{FC}$
- $\mathrm{ED}=\mathrm{CD}$（正五角形の辺）
- $\angle \mathrm{FED}=108^{\circ }-66^{\circ }=42^{\circ }$、$\angle \mathrm{FCD}=108^{\circ }-66^{\circ }=42^{\circ }$

2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので $△\mathrm{FED}\equiv △\mathrm{FCD}$。よって $\angle \mathrm{EFD}=\angle \mathrm{CFD}$ である。

点 $\mathrm{F}$ のまわりの角の和は $360^{\circ }$ なので
$$\angle \mathrm{AFB}+\angle \mathrm{BFC}+\angle \mathrm{CFD}+\angle \mathrm{DFE}+\angle \mathrm{EFA}=360^{\circ }$$
$$60^{\circ }+66^{\circ }+2\angle \mathrm{CFD}+66^{\circ }=360^{\circ }$$
$$2\angle \mathrm{CFD}=168^{\circ }$$
$$\angle \mathrm{CFD}=84^{\circ }$$

（確認：$△\mathrm{FCD}$ で $\angle \mathrm{FDC}=180^{\circ }-42^{\circ }-84^{\circ }=54^{\circ }$ となり、$\angle \mathrm{FDC}+\angle \mathrm{FDE}=108^{\circ }$ と一致する。）

正五角形の内角は $108^{\circ }$、辺の長さをすべて等しく $s$ とする。$△\mathrm{ABF}$ は正三角形なので $\mathrm{BF}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=s$、$\angle \mathrm{ABF}=60^{\circ }$。
$\angle \mathrm{FBC}=108-60=48^{\circ }$。$\mathrm{BF}=\mathrm{BC}$ の二等辺三角形なので $\angle \mathrm{BFC}=\angle \mathrm{BCF}=(180-48)÷2=66^{\circ }$。
同様に $\mathrm{AF}=\mathrm{AE}$、$\angle \mathrm{FAE}=48^{\circ }$ より $\angle \mathrm{AFE}=66^{\circ }$。
正五角形と正三角形は辺 AB の垂直二等分線について対称で、F も D もこの直線上にある。よって図形は対称で $\angle \mathrm{CFD}=\angle \mathrm{EFD}$。
F のまわりの角の和 $360^{\circ }$ より $\angle \mathrm{AFB}+\angle \mathrm{BFC}+\angle \mathrm{CFD}+\angle \mathrm{DFE}+\angle \mathrm{EFA}=360$。$60+66+2\angle \mathrm{CFD}+66=360$ より $\angle \mathrm{CFD}=84^{\circ }$。
検算: $\angle \mathrm{FCD}=108-66=42^{\circ }$、$\angle \mathrm{CDF}=108÷2=54^{\circ }$（DF は $\angle \mathrm{D}$ の二等分線）なので $△\mathrm{CFD}$ で $\angle \mathrm{CFD}=180-42-54=84^{\circ }$ で一致。