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多角形の内角と外角

多角形を三角形に分けて内角の和（三角形の数 × 180 度）を求め、正多角形の 1 つの内角・外角の大きさや、正多角形の対角線がつくる角の大きさを求められる

前提

• 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 何角形かを確かめ、1 つの頂点から対角線を引いたときにできる三角形の数（角の数 − 2）を求める。

2. 内角の和を 180 × 三角形の数 で求める。

3. 正多角形の 1 つの内角は、内角の和 ÷ 角の数 で求める。

4. 正多角形の 1 つの外角は、360 ÷ 角の数 で求める（または 180 − 1 つの内角）。

5. 対角線がつくる角を求めるときは、等しい辺でできる二等辺三角形を見つけ、三角形の内角の和 180 度と、等しい 2 つの角を使って求める。

例題

よくある誤り

• 三角形の数を角の数と同じにしてしまう誤り。例: 八角形の内角の和を $180\times 8=1440$ 度としてしまう。正しくは 1 つの頂点から対角線を引くと $8-2=6$ この三角形に分かれるので、$180\times 6=1080$ 度。

• 外角の和も角の数によって変わると考えてしまう誤り。例: 正八角形の外角の和を内角と同じように $180\times 6=1080$ 度とし、1 つの外角を $1080÷8=135$ 度としてしまう。正しくは外角の和はいつも 360 度で、1 つの外角は $360÷8=45$ 度。

• 中心から各頂点に線を引いて三角形に分けたとき、中心のまわりの角を引き忘れる誤り。例: 八角形を中心から 8 つの三角形に分けて内角の和を $180\times 8=1440$ 度としてしまう。正しくは中心のまわりの 360 度は内角ではないので、$1440-360=1080$ 度。

• 正多角形の対角線がつくる角で、二等辺三角形の等しい角を取りちがえる誤り。例: 正五角形 ABCDE（1 つの内角 108 度）の三角形 ABC で、角 BAC を $180-108=72$ 度としてしまう。正しくは AB ＝ BC なので角 BAC と角 BCA が等しく、角 BAC は $(180-108)÷2=36$ 度。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  正六角形 ABCDEF があります。この正六角形の 1 つの内角（たとえば角 A）の大きさは何度ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  正五角形 ABCDE があり、頂点は A, B, C, D, E の順に並んでいます。対角線 AC と対角線 BE が交わる点を F とします。角 AFB の大きさは何度ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  ある正多角形では、1 つの内角の大きさが 1 つの外角の大きさの $4$ 倍になっている。この正多角形の対角線の本数を求めよ。

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  へこみのない四角形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいます。角 A の大きさは 110 度、角 B の大きさは 75 度、角 C の大きさは 95 度です。角 D の大きさは何度ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$110^{\circ }$$75^{\circ }$$95^{\circ }$

• 難易度 2（教科書の練習問題レベル）

  正五角形 ABCDE があり、頂点は A, B, C, D, E の順に並んでいます。対角線 AC をひきます。このとき、角 BAC の大きさは何度ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ がある。辺 $\mathrm{CD}$ を 1 辺とする正方形 $\mathrm{CDGH}$ を、正六角形の外側につくる。点 $\mathrm{B}$ と点 $\mathrm{H}$ を結ぶ。

  このとき、$\angle \mathrm{CBH}$ の大きさは何度か求めなさい。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{G}$$\mathrm{H}$

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  正五角形 ABCDE があり、頂点は A, B, C, D, E の順に並んでいます。対角線 AC と対角線 BD が交わる点を P とします。角 APB の大きさは何度ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{P}$

• 難易度 3（中学入試の基本レベル）

  正六角形 ABCDEF があり、頂点は A, B, C, D, E, F の順に並んでいます。辺 AB を 1 辺とする正方形 ABPQ を、正六角形の内側にかきます。正方形の頂点は A, B, P, Q の順に並んでいて、点 Q は点 A ととなり合う頂点です。このとき、角 EFQ の大きさは何度ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{P}$$\mathrm{Q}$

この技能の次に学べること

• 多角形の角の応用 （中学数学 平面図形）