平面図形の問題

五角形の内角の和は、五角形が対角線で 3 つの三角形に分けられることから
$$180\times 3=540(\text{度})$$
です。正五角形の 1 つの内角は
$$540÷5=108(\text{度})$$
です。

三角形 ABC は BA と BC の長さが等しい二等辺三角形で、角 ABC は $108$ 度なので、
$$\text{角 BCA}=(180-108)÷2=36(\text{度})$$
です。

同じように、三角形 BCD は CB と CD の長さが等しい二等辺三角形で、角 BCD は $108$ 度なので、
$$\text{角 CBD}=(180-108)÷2=36(\text{度})$$
です。

三角形 PBC で、角 PBC $=36$ 度、角 PCB $=36$ 度なので、
$$\text{角 BPC}=180-36-36=108(\text{度})$$
です。

点 A, P, C は一直線上にあるので、
$$\text{角 APB}=180-108=72(\text{度})$$
です。

答え: $72$ 度

正五角形の 1 つの内角は $180\times (5-2)÷5=108$ 度です。三角形 ABC は AB = BC の二等辺三角形で、頂角 ABC が 108 度なので、角 BAC $=(180-108)÷2=36$ 度です。同じように、三角形 BCD は BC = CD の二等辺三角形で、角 CBD $=36$ 度です。角 ABD は $108-36=72$ 度です。
三角形 ABP の内角の和は 180 度なので、角 APB $=180-36-72=72$ 度です。
確かめ: 角 APB は三角形 PBC の外角と考えることもできる。三角形 PBC で角 PBC $=36$ 度、角 PCB $=108-36=72$ 度なので、角 BPC $=180-36-72=72$ 度 ではなく、角 BPC $=72$ 度。角 APB と角 BPC は直線 AC 上で並ぶので $180-72=108$ 度とも考えられるが、角 BPC は 72 度ではなく 108 度。三角形 PBC: 角 PBC = 36、角 PCB = 角 BCA = 36 度（BCA は三角形 ABC の底角）、よって角 BPC $=180-36-36=108$ 度。角 APB は角 BPC の補角で $180-108=72$ 度。一致します。