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平面図形の問題

難易度 2教科書の練習問題レベル算数平面図形

正五角形 ABCDE があり、頂点は A, B, C, D, E の順に並んでいます。対角線 AC と対角線 BE が交わる点を F とします。角 AFB の大きさは何度ですか。

A

B

C

D

E

F

この問題で使うもの

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

正五角形の 1 つの内角の大きさを求めてから、三角形 ABF の角を調べましょう。

ヒント 2

三角形 ABC と三角形 ABE は、どちらも正五角形の辺を 2 本ふくむ二等辺三角形です。頂角が正五角形の内角になります。

ヒント 3

正五角形の内角は $540 \div 5 = 108$ 度なので、三角形 ABC の底角は $(180 - 108) \div 2$ 度です。角 BAF と角 ABF がそれぞれ何度かを求め、三角形 ABF の内角の和から考えましょう。

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108

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解説を読む

まず、正五角形の 1 つの内角を求めます。

五角形は、1 つの頂点から対角線を引くと $3$ つの三角形に分けられるので、内角の和は
$180 \times 3 = 540 (度)$
です。正五角形の内角はすべて等しいので、1 つの内角は
$540 \div 5 = 108 (度)$
です。

次に、三角形 ABC を考えます。正五角形の辺なので AB と BC の長さは等しく、三角形 ABC は二等辺三角形です。角 ABC は $108$ 度なので、底角は
$(180 - 108) \div 2 = 36 (度)$
です。よって、角 BAC（角 BAF）は $36$ 度です。

同じように、三角形 ABE も AB と AE の長さが等しい二等辺三角形で、角 BAE は $108$ 度なので、角 ABE（角 ABF）は
$(180 - 108) \div 2 = 36 (度)$
です。

三角形 ABF の内角の和は $180$ 度なので、
$180 - 36 - 36 = 108 (度)$
となります。

答え: $108$ 度

別解

正五角形の 1 つの内角は $180 \times (5 - 2) \div 5 = 108$ 度です。

三角形 ABC は AB = BC の二等辺三角形で、頂点 B の角が 108 度なので、角 BAC $= (180 - 108) \div 2 = 36$ 度。

同じように、三角形 ABE は AB = AE の二等辺三角形で、頂点 A の角が 108 度なので、角 ABE $= (180 - 108) \div 2 = 36$ 度。

F は AC と BE の交点なので、三角形 ABF の内角は、角 FAB $= 36$ 度、角 FBA $= 36$ 度。したがって角 AFB $= 180 - 36 - 36 = 108$ 度。

検算：角 AFB は、三角形 ABF の 2 つの角 36 度ずつの和 72 度の外側にあたる角を考えても $180 - 72 = 108$ 度となり、一致します。