平面図形の問題

1 つの外角の大きさを $x^{\circ }$ とすると、1 つの内角の大きさは $4x^{\circ }$ である。

1 つの頂点で、内角と外角の和は $180^{\circ }$ なので
$$x+4x=180$$
$$5x=180$$
$$x=36$$
よって、1 つの外角は $36^{\circ }$ である。

多角形の外角の和は $360^{\circ }$ であり、正多角形では外角がすべて等しいから、頂点の数は
$$360÷36=10$$
となり、この正多角形は正十角形である。

$n$ 角形の 1 つの頂点からは、自分自身ととなり合う 2 つの頂点を除いた $(n-3)$ 本の対角線がひける。$n$ 個の頂点それぞれから数えると、1 本の対角線を両端で 2 回数えることになるので、対角線の本数は
$$\frac{n(n-3)}{2}$$
である。$n=10$ を代入して
$$\frac{10\times 7}{2}=35$$
よって、対角線は $35$ 本である。

正多角形の 1 つの内角と 1 つの外角の和は $180^{\circ }$。内角が外角の $4$ 倍なので、外角を $x^{\circ }$ とすると $x+4x=180$、$x=36$。

外角の和は $360^{\circ }$ なので、辺の数は $360÷36=10$。正十角形である。

$n$ 角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ なので、$\frac{10\times 7}{2}=35$ 本。

【検算】正十角形の内角は $180^{\circ }\times (10-2)÷10=144^{\circ }$、外角は $36^{\circ }$ で、$144=36\times 4$ となり条件に合う。1 つの頂点から引ける対角線は $10-3=7$ 本で、$10\times 7÷2=35$ 本。

答え $35$ 本