平面図形の問題

まず $\mathrm{BD}$ の長さを求める。

$\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AH}$ をひく。$△\mathrm{ABH}$ は $\angle \mathrm{ABH}=60^{\circ }$、$\angle \mathrm{AHB}=90^{\circ }$ の直角三角形なので、辺の比は $\mathrm{BH}:\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=1:2:\sqrt{3}$ であり
$$\mathrm{BH}=3,\mathrm{AH}=3\sqrt{3}$$

次に $\mathrm{D}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{DK}$ をひく。$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ より四角形 $\mathrm{AHKD}$ は長方形なので
$$\mathrm{HK}=\mathrm{AD}=4,\mathrm{DK}=\mathrm{AH}=3\sqrt{3}$$
よって $\mathrm{BK}=\mathrm{BH}+\mathrm{HK}=3+4=7$ である（$7<10$ なので $\mathrm{K}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にある）。

$△\mathrm{DBK}$ で三平方の定理より
$${\mathrm{BD}}^2=7^2+(3\sqrt{3}{)}^2=49+27=76$$
$$\mathrm{BD}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$$

次に $\mathrm{BE}:\mathrm{ED}$ を求める。$△\mathrm{EBC}$ と $△\mathrm{EDA}$ において、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ より錯角が等しいので $\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{EDA}$、$\angle \mathrm{ECB}=\angle \mathrm{EAD}$。2 組の角がそれぞれ等しいので $△\mathrm{EBC}\sim △\mathrm{EDA}$ であり
$$\mathrm{BE}:\mathrm{DE}=\mathrm{BC}:\mathrm{DA}=10:4=5:2$$

したがって
$$\mathrm{BE}=\mathrm{BD}\times \frac{5}{5+2}=2\sqrt{19}\times \frac{5}{7}=\frac{10\sqrt{19}}{7}(\text{cm})$$

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ より $△\mathrm{EAD}\backsim △\mathrm{ECB}$（2 組の角が等しい）。相似比は $\mathrm{AD}:\mathrm{CB}=4:10=2:5$ なので、$\mathrm{DE}:\mathrm{BE}=2:5$、すなわち $\mathrm{BE}=\frac{5}{7}\mathrm{BD}$。
次に BD を求める。A, D から BC に垂線 AH, DK を下ろす。$△\mathrm{ABH}$ は $\angle \mathrm{B}=60^{\circ }$ の直角三角形で $\mathrm{AB}=6$ より $\mathrm{BH}=3$、$\mathrm{AH}=3\sqrt{3}$。四角形 AHKD は長方形（AD ∥ HK）なので $\mathrm{HK}=4$、$\mathrm{DK}=3\sqrt{3}$、$\mathrm{BK}=3+4=7$。三平方の定理より ${\mathrm{BD}}^2=7^2+(3\sqrt{3}{)}^2=49+27=76$、$\mathrm{BD}=2\sqrt{19}$。
よって $\mathrm{BE}=\frac{5}{7}\times 2\sqrt{19}=\frac{10\sqrt{19}}{7}$ (cm)。
検算: $\mathrm{CK}=10-7=3>0$ なので K は BC 上にあり図形として成立。$\frac{10\sqrt{19}}{7}\approx 6.23$ で $\mathrm{BD}\approx 8.72$ の約 $5/7$ となり一致。