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平面図形の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学平面図形

円周上に 4 点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ がこの順に並んでいる。線分 $AC$ と線分 $BD$ の交点を $E$ とする。 $∠ ADB = 3 8^{\circ}$ 、 $∠ BEC = 10 0^{\circ}$ のとき、 $∠ DAC = x^{\circ}$ である。 $x$ の値を求めよ。

A

B

C

D

E

3 8^{\circ}

10 0^{\circ}

この問題で使うもの

円周角の定理（説明と入口の問題）
三角形の角の大きさ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

求めたい $∠ DAC$ と同じ弧に対する円周角を探し、その角を三角形の中で求めることを考えよう。

ヒント 2

$∠ ADB = ∠ ACB$ （弧 $AB$ に対する円周角）、 $∠ DAC = ∠ DBC$ （弧 $CD$ に対する円周角）が使える。

ヒント 3

$△ EBC$ で $∠ BEC = 10 0^{\circ}$ 、 $∠ ECB = 3 8^{\circ}$ だから、残りの $∠ EBC$ は内角の和から求められる。

答えと解説

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42

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$∠ ADB$ と $∠ ACB$ は、どちらも弧 $AB$ に対する円周角なので等しい。よって
$∠ ECB = ∠ ACB = ∠ ADB = 3 8^{\circ}$
$△ EBC$ の内角の和は $18 0^{\circ}$ だから
$∠ EBC = 18 0^{\circ} - ∠ BEC - ∠ ECB = 18 0^{\circ} - 10 0^{\circ} - 3 8^{\circ} = 4 2^{\circ}$
つまり $∠ DBC = 4 2^{\circ}$ である。

$∠ DAC$ と $∠ DBC$ は、どちらも弧 $CD$ に対する円周角なので等しい。よって
$∠ DAC = ∠ DBC = 4 2^{\circ}$
したがって $x = 42$ である。

別解

$∠ BEC$ と $∠ AED$ は対頂角なので $∠ AED = 10 0^{\circ}$ 。
$△ AED$ で、 $∠ ADE = ∠ ADB = 3 8^{\circ}$ なので $∠ DAE = 180 - 100 - 38 = 4 2^{\circ}$ 。 $∠ DAE = ∠ DAC$ だから $x = 42$ 。
検算: $△ BEC$ では $∠ ECB = ∠ ACB = ∠ ADB = 3 8^{\circ}$ （弧 AB の円周角）、 $∠ EBC = ∠ DBC = ∠ DAC = x$ （弧 DC の円周角）。 $x + 38 + 100 = 180$ より $x = 42$ で一致。

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