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円周角の定理

1 つの弧に対する円周角は中心角の半分で、同じ弧に対する円周角は等しいことを使い、円周上の点や中心がつくる角の大きさを求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

円周上の2点 、 と、それ以外の円周上の点 でできる角 を、弧 に対する円周角といいます。円周角は同じ弧に対する中心角の半分であり、同じ弧に対する円周角は点 の位置によらずすべて等しい、という性質（円周角の定理）を使って、円の中にできる角の大きさを求められるようになります。円が出てくる角の問題では、まずこの定理が使えないかを考えます。

なぜそうしてよいのか

円の中心を とし、弧 に対する円周角 と中心角 を比べます。

まず、中心 が線分 上にある場合を考えます。 と はどちらも半径なので で、三角形 は二等辺三角形です。よって 。 は三角形 の における外角なので、

となり、円周角は中心角の半分です。

中心 が角 の内側にあるときは、直径 を引いて角を2つに分けると、それぞれに上の結果が使えて となります。 が角の外側にあるときも、同じように直径 を引き、和ではなく差を考えれば同じ結果になります。

こうして、円周角はいつでも同じ弧に対する中心角の半分になります。中心角は弧 だけで決まるので、同じ弧 に対する円周角は、 を弧 以外の円周上のどこにとっても等しくなります。

手順

  1. 求めたい角が、どの弧に対する円周角または中心角かを見きわめる（角の頂点が円周上なら円周角、中心なら中心角）

  2. 同じ弧に対する中心角や、ほかの円周角で大きさがわかっているものを探す

  3. 円周角 中心角、または同じ弧に対する円周角は等しい、を使って角を求める

  4. 必要なら、半径でできる二等辺三角形や三角形の角の和を使って、残りの角を計算する

例題

点 を中心とする円の周上に 点 、、 があり、 は長いほうの弧 上（、 と異なる点）にある。（短いほうの弧 に対する中心角）のとき、 の大きさは何度か求めよ。

例題の解答

手順1: は頂点 が円周上にあるので円周角で、 をふくまない短いほうの弧 に対する円周角です。

手順2: 同じ弧 に対する中心角は とわかっています。

手順3: 円周角は中心角の半分なので

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること