平面図形の問題

弧に対する円周角

円周全体に対する中心角は $360^{\circ }$ で、弧の比の合計は $1+2+3+4+5=15$ である。弧の長さは中心角に比例し、円周角は中心角の半分なので、比の $1$ にあたる弧に対する円周角は

$$\frac{360^{\circ }}{15}\times \frac{1}{2}=12^{\circ }$$

である。

$△\mathrm{QAC}$ の角

点 $\mathrm{B}$ は線分 $\mathrm{QC}$ 上に、点 $\mathrm{A}$ は線分 $\mathrm{QE}$ 上にある。$△\mathrm{QAC}$ で考える。

$\angle \mathrm{QCA}=\angle \mathrm{BCA}$ は弧 $\mathrm{AB}$（比 $1$）に対する円周角なので

$$\angle \mathrm{QCA}=12^{\circ }\times 1=12^{\circ }$$

$\angle \mathrm{EAC}$ は、$\mathrm{B}$ を含まない方の弧 $\mathrm{CE}$（弧 $\mathrm{CD}$ と弧 $\mathrm{DE}$ を合わせた弧、比 $3+4=7$）に対する円周角なので

$$\angle \mathrm{EAC}=12^{\circ }\times 7=84^{\circ }$$

$\mathrm{Q}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$ は一直線上にあるので

$$\angle \mathrm{QAC}=180^{\circ }-84^{\circ }=96^{\circ }$$

$\angle \mathrm{AQB}$

$\angle \mathrm{AQB}=\angle \mathrm{AQC}$ であり、$△\mathrm{QAC}$ の内角の和より

$$\angle \mathrm{AQC}=180^{\circ }-96^{\circ }-12^{\circ }=72^{\circ }$$

よって $\angle \mathrm{AQB}=72^{\circ }$ である。

弧の比の合計は $1+2+3+4+5=15$。円周は中心角で $360^{\circ }$ なので、比 1 あたり $360^{\circ }÷15=24^{\circ }$。弧 AB は $24^{\circ }$、弧 CD は $72^{\circ }$、弧 DE は $96^{\circ }$ (中心角の大きさ)。

点 Q は円の外にあり、Q から出る 2 本の直線が円と A, E と B, C で交わっている。

円周角は弧の中心角の半分なので、$\angle \mathrm{ABE}$ や $\angle \mathrm{BEC}$ などで考える。

三角形 QBE を考える。$\angle \mathrm{QBE}$ は $\angle \mathrm{CBE}$ の補角ではなく、直線 CB の延長上の Q での角なので、$\angle \mathrm{QBE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{CBE}$。

$\angle \mathrm{CBE}$ は弧 CE(B を含まない方=C, D, E を通る弧)に対する円周角で、その弧は CD+DE=$72^{\circ }+96^{\circ }=168^{\circ }$ なので $\angle \mathrm{CBE}=84^{\circ }$。よって $\angle \mathrm{QBE}=96^{\circ }$。

$\angle \mathrm{BEQ}=\angle \mathrm{BEA}$ は弧 AB($24^{\circ }$)に対する円周角なので $12^{\circ }$。

三角形 QBE の内角の和より $\angle \mathrm{AQB}=180^{\circ }-96^{\circ }-12^{\circ }=72^{\circ }$。

検算: 円の外の点から 2 本の直線をひいたときの角は、(遠い方の弧-近い方の弧)÷2 で、$(168^{\circ }-24^{\circ })÷2=72^{\circ }$。一致。