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技能一覧 › 中学数学 平面図形

直径・弧の長さと円周角

直径に対する円周角が であること、円周角の大きさが弧の長さに比例すること（弧の中点を含む）を使い、弦の交点などの角の大きさを求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  3. 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
  4. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  6. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  7. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  8. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  9. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  10. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  11. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  12. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  13. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  14. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  15. 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
  16. 円周角の定理 （中学数学 平面図形）

説明

円周角の定理から導かれる2つの性質、「直径に対する円周角は 」と「1つの円で、円周角の大きさは弧の長さに比例する」を使えるようになります。円周がいくつかの弧に分けられていて長さの比がわかっているときや、弧の中点がある図形で、弦どうしが交わってできる角などを求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

線分 が直径のとき、弧 は半円で、それに対する中心角 は一直線なので です。円周角は中心角の半分なので、半円の弧に対する円周角、つまり直径に対する円周角は になります。

次に、1つの円では、中心角が2倍・3倍になると弧の長さも2倍・3倍になります（弧の長さは中心角に比例する）。円周角は中心角の半分なので、円周角も弧の長さに比例します。円周全体（ の中心角）に対する「円周角」は にあたるので、円周を長さの比で分けたとき、それぞれの弧に対する円周角は をその比で分けた大きさになります。特に、等しい長さの弧に対する円周角は等しく、点 が弧 の中点なら、弧 と弧 に対する円周角は等しくなります。

弦どうしが交わってできる角は、交点を頂点とする三角形の外角とみなせば、2つの円周角の和として求められます。

手順

  1. 直径があれば、それに対する円周角に と書き込む

  2. 弧の長さの比（または弧の中点）が与えられていれば、円周全体を何等分したことになるかを数え、1つ分の弧に対する円周角 を求める

  3. 必要な弧に対する円周角を、比を使って求める（その弧が何個分かをかける）

  4. 求めたい角をふくむ三角形を見つけ、三角形の角の和や外角の性質（外角 となり合わない2つの内角の和）を使って角を求める

例題

円周上に 点 、、、 がこの順に並んでいて、弧 、弧 、弧 、弧 （どれもほかの 点をふくまない弧）の長さの比は である。弦 と弦 の交点を とするとき、 の大きさは何度か求めよ。

例題の解答

手順1: 直径は与えられていないので、弧の比を使う。

手順2: 円周全体は 個分。円周全体に対する円周角は にあたるので、1個分の弧に対する円周角は 。

手順3: は弧 （1個分）に対する円周角なので 。 は弧 （3個分）に対する円周角なので 。

手順4: 三角形 で、、、 は一直線上にあるので、 は における外角。よって

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること