円周角の定理とその逆

用語　円 $O$ の周上に異なる 3 点 $A,B,C$ があるとき、$\angle ACB$ を、$C$ を含まない側の弧 $AB$ に対する円周角といいます。その同じ弧（$C$ を含まない側の弧 $AB$）に対する中心角とは、$O$ のまわりでその弧の側に開いた角 $\angle AOB$ のことです。$C$ が短い方の弧の上にあれば、見込む弧は長い方なので、中心角は $180^{\circ }$ を超えます（$AB$ が直径なら $180^{\circ }$）。

中心角は円周角の 2 倍　(i) まず $O$ が線分 $CB$ 上にある場合。$OA=OC$（半径）より $△OAC$ は二等辺三角形で、$\angle OAC=\angle OCA=x$ とおけます。$\angle AOB$ は $△OAC$ の $O$ における外角なので $\angle AOB=x+x=2x=2\angle ACB$。(ii) 一般の位置では、$C$ を通る直径 $CE$ を引きます。$O$ は線分 $CE$ 上にあるので、(i) を $△OCA$, $△OCB$ に使うと $\angle AOE=2\angle ACE$, $\angle EOB=2\angle ECB$。$E$ が $C$ を含まない弧 $AB$ 上にある（$O$ が $\angle ACB$ の内部にある）ときは $\angle ACB=\angle ACE+\angle ECB$ で、$$\angle AOB=\angle AOE+\angle EOB=2\angle ACE+2\angle ECB=2\angle ACB$$（この和は $180^{\circ }$ を超えてもよく、$180^{\circ }$ を超える中心角の場合もここに含まれます）。$O$ が $\angle ACB$ の外部にあり、たとえば半直線 $CA$ が $CE$ と $CB$ の間にあるときは $\angle ACB=\angle ECB-\angle ECA$ で、$$\angle AOB=\angle EOB-\angle EOA=2\angle ECB-2\angle ECA=2\angle ACB$$（$A$ と $B$ の役目を入れかえた場合も同様）。$O$ が $CA$ 上にある場合は (i) と同じです。よって常に $\angle AOB=2\angle ACB$。弧が決まれば中心角が決まるので、同じ弧に対する円周角は $C$ の位置によらず等しく、$AB$ が直径なら円周角は $180^{\circ }÷2=90^{\circ }$ です。

逆　まず補題：三角形 $ABP$ の内部の点 $Q$ について $\angle AQB>\angle APB$。実際、$AQ$ を $Q$ の先へ延ばして辺 $BP$ と交わる点を $G$ とすると、$△QGB$ の外角より $\angle AQB=\angle QGB+\angle QBG>\angle AGB$、$△AGP$ の外角より $\angle AGB=\angle GAP+\angle GPA>\angle APB$ です。さて $C,D$ が直線 $AB$ について同じ側にあり $\angle ACB=\angle ADB$ とし、$A,B,C$ を通る円を考えます。$AB$ の中点を $M$ とします（$M$ は円の内部）。$D$ が円の内部にあれば、半直線 $MD$ は $D$ の先で $C$ 側の弧と点 $F$ で交わり、$D$ は $△ABF$ の内部にあるので、補題より $\angle ADB>\angle AFB=\angle ACB$（$F$ と $C$ は同じ弧に対する円周角）となり矛盾。$D$ が円の外部にあれば、線分 $DM$ が $C$ 側の弧と点 $F$ で交わり、$F$ は $△ABD$ の内部にあるので $\angle ACB=\angle AFB>\angle ADB$ となり矛盾。したがって $D$ は円周上にあります。