図形の性質の問題

手順 1：中心角 $\angle \mathrm{BOC}$ を求める

$\mathrm{OB}$, $\mathrm{OC}$ はどちらも円の半径なので $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ であり、$△\mathrm{OBC}$ は二等辺三角形である。よって底角は等しく
$$\angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{OBC}=25^{\circ }$$
三角形の内角の和は $180^{\circ }$ なので
$$\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ }-25^{\circ }-25^{\circ }=130^{\circ }$$

手順 2：円周角の定理を使う

点 $\mathrm{A}$ は弧 $\mathrm{BC}$ のうち長い方の弧の上にある。このとき、$\angle \mathrm{BAC}$ は短い方の弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角で、$\angle \mathrm{BOC}=130^{\circ }$ は同じ弧 $\mathrm{BC}$ に対する中心角である。円周角の定理より、円周角は同じ弧に対する中心角の半分なので
$$\angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2}\times 130^{\circ }=65^{\circ }$$

したがって $x=65$ である。

OB=OC より △OBC は二等辺三角形なので ∠OCB=∠OBC=25°。よって ∠BOC=180°−25°×2=130°。
点 A は長い方の弧 BC 上にあるので、∠BAC は短い方の弧 BC に対する円周角であり、中心角 ∠BOC=130° の半分になる。したがって x=130÷2=65。
検算：A が長い方の弧上にあるとき、弧 BC（短い方）の中心角は 130°、円周角は 65° で 90° 未満（鋭角）となり、A が優弧上にあることと矛盾しない。また、劣弧上の点 A' では ∠BA'C=180°−65°=115° となり、これは別の場合である。