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図形の性質

扱うテーマ: 三角形の辺の比（角の二等分線・メネラウス・チェバ）、三角形の五心、円周角・円に内接する四角形、方べきの定理・接線の長さ、2 つの円の位置関係

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 9$ , $BC = 6$ , $CA = 10$ とする。 $∠ B$ の二等分線と辺 $CA$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $9$ $6$ $10$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 9$ , $BC = 5$ , $CA = 6$ とする。 $∠ A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $D$ とするとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。
$B$ $C$ $A$ $D$ $9$ $5$ $6$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 9$ , $BC = 5$ , $CA = 6$ とする。 $∠ A$ の外角の二等分線と、辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とする。線分 $CE$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $E$ $9$ $6$ $5$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の面積は $30$ である。辺 $AB$ 上に点 $D$ を $AD = 6$ , $DB = 3$ となるようにとる。辺 $AC$ 上に点 $E$ を $AE = 4$ , $EC = 6$ となるようにとる。 $△ ADE$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ 6346
$△ ABC$ の面積は $30$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の面積は $30$ である。辺 $AB$ 上に点 $D$ を $AD : DB = 2 : 1$ となるようにとる。辺 $AC$ 上に点 $E$ を $AE : EC = 3 : 2$ となるようにとる。 $△ ADE$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $2$ $1$ $3$ $2$
辺に書いた数は長さの比を表す
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の面積は $30$ である。辺 $AB$ 上に点 $D$ を $AD : DB = 2 : 1$ となるようにとり、辺 $AC$ 上に点 $E$ を $AE : EC = 3 : 2$ となるようにとる。 $△ ADE$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、辺 $AB$ 上の点 $P$ は $AP : PB = 3 : 2$ を満たし、辺 $AC$ 上の点 $Q$ は $AQ : QC = 4 : 1$ を満たす。直線 $PQ$ と辺 $BC$ の $C$ の側への延長との交点を $R$ とする。 $\frac{BR}{RC}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $Q$ $R$
$AP : PB = 3 : 2$ , $AQ : QC = 4 : 1$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、辺 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点を $F$ 、辺 $AC$ を $1 : 2$ に内分する点を $E$ とする。直線 $FE$ と辺 $BC$ の延長との交点を $D$ とするとき、 $\frac{BD}{DC}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $F$ $E$ $D$
$AF : FB = 3 : 1$ , $AE : EC = 1 : 2$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 5$ とする。辺 $AB$ を $3 : 2$ に内分する点を $F$ 、辺 $AC$ を $3 : 1$ に内分する点を $E$ とする。直線 $FE$ と辺 $BC$ の $C$ の側への延長との交点を $D$ とするとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $F$ $E$ $D$ $5$
$AF : FB = 3 : 2$ , $AE : EC = 3 : 1$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の内部に点 $P$ がある。直線 $AP$ , $BP$ , $CP$ が辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ と交わる点を、それぞれ $D$ , $E$ , $F$ とする。 $AF : FB = 2 : 1$ , $BD : DC = 3 : 4$ のとき、 $\frac{CE}{EA}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $P$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ 上にそれぞれ点 $D$ , $E$ , $F$ があり（いずれも頂点とは異なる）、 $3$ 本の線分 $AD$ , $BE$ , $CF$ は $1$ 点 $P$ で交わっている。 $BD : DC = 3 : 2$ , $CE : EA = 1 : 2$ のとき、 $\frac{AF}{FB}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $P$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の内部に点 $P$ がある。直線 $AP$ , $BP$ , $CP$ が辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ と交わる点を、それぞれ $D$ , $E$ , $F$ とする。 $BD : DC = 3 : 2$ , $CE : EA = 1 : 2$ のとき、 $\frac{AF}{FB}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $P$ $3$ $2$ $1$ $2$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心が $O$ の円の周上に、3 点 $A, B, C$ がある。点 $A$ は、弧 $BC$ のうち短い方の弧の上にはない。 $∠ BOC = 13 6^{\circ}$ である。短い方の弧 $BC$ に対する中心角が $∠ BOC$ である。 $∠ BAC = x^{\circ}$ とするとき、 $x$ の値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $13 6^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心が $O$ の円の周上に、3 点 $A$ , $B$ , $C$ がある。点 $A$ は、弧 $BC$ のうち長い方の弧の上にある。 $∠ OBC = 2 5^{\circ}$ のとき、 $∠ BAC = x^{\circ}$ とする。 $x$ の値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $2 5^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心が $O$ の円の周上に、3 点 $A$ , $B$ , $C$ がある。 $∠ AOB = 12 4^{\circ}$ である。また、点 $C$ は、2 つの弧 $AB$ のうち長い方の弧の上にある（ $A$ , $B$ とは異なる点）。このとき、 $∠ ACB$ の大きさは何度か求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $12 4^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
四角形 $ABCD$ の 4 つの辺 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ がすべて 1 つの円に接している。 $AB = 6$ , $BC = 7$ , $CD = 9$ のとき、辺 $DA$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $6$ $7$ $9$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心 $O$ 、半径 $6$ の円があり、円の外部の点 $P$ は $OP = 10$ を満たす。 $P$ からこの円に 2 本の接線を引き、接点を $A$ , $B$ とする。また、 $P$ に近い側の弧 $AB$ 上（両端を除く）に点 $T$ をとり、 $T$ における円の接線が線分 $PA$ , $PB$ と交わる点をそれぞれ $Q$ , $R$ とする。 $△ PQR$ の周の長さを求めよ。
$O$ $P$ $A$ $B$ $T$ $Q$ $R$ $10$ $6$
難易度 1（教科書の例題レベル）
四角形 $ABCD$ の 4 つの辺 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ が、すべて円 $O$ に接している。円 $O$ と辺 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ との接点を、それぞれ $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ とする。 $AB = 6$ , $BC = 9$ , $CD = 8$ のとき、辺 $DA$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $O$ $P$ $Q$ $R$ $S$ $6$ $9$ $8$
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心 $O$ 、半径 $7$ の円 $C_{1}$ の内部に、中心 $O^{'}$ 、半径 $2$ の円 $C_{2}$ があり、 $C_{2}$ は $C_{1}$ に点 $T$ で内接している。直線 $OO^{'}$ と円 $C_{2}$ の交点のうち、 $T$ でない方を $P$ とする。線分 $OP$ の長さを求めよ。
$O$ $O^{'}$ $T$ $P$ $7$ $2$
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上に $3$ つの円 $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ があり、それぞれの中心は $A$ , $B$ , $C$ である。どの $2$ つの円も互いに外接している。 $AB = 7$ , $BC = 9$ , $CA = 8$ のとき、円 $C_{1}$ の半径を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $7$ $9$ $8$
円の中心 A, B, C を結んだ三角形（円は省略）
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上に、点 $A$ , $B$ , $C$ を中心とする $3$ つの円があり、どの $2$ つの円も互いに外接している。 $AB = 5$ , $BC = 7$ , $CA = 6$ であるとき、点 $A$ を中心とする円の半径を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $5$ $7$ $6$
3 つの円の中心を結んだ三角形（円は省略している）
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = AC = 10$ 、 $BC = 12$ とする。辺 $BC$ の中点を $M$ 、 $△ ABC$ の重心を $G$ とするとき、線分 $AG$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $M$ $G$ $10$ $10$ $12$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 6$ , $∠ BAC = 3 0^{\circ}$ とする。 $△ ABC$ の外心を $O$ とするとき、線分 $OA$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $O$ $6$ $3 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$AB = AC = 5$ , $BC = 6$ である三角形 $ABC$ がある。辺 $BC$ の中点を $D$ 、三角形 $ABC$ の重心を $G$ とする。線分 $AG$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $G$ $5$ $5$ $6$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 8$ , $BC = 7$ , $CA = 6$ とする。 $△ ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。 $AD = 6$ であるとき、線分 $AI$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $I$ 6867
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 9$ , $BC = 6$ , $CA = 7$ とする。 $△ ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。このとき、 $\frac{AI}{ID}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $I$ $9$ $7$ $6$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 8$ , $BC = 5$ , $CA = 7$ とする。 $△ ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。このとき、 $\frac{AI}{ID}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $I$ $8$ $7$ $5$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ がある。辺 $BC$ の $C$ の側への延長上に点 $E$ をとる。
$∠ BAD = (2 x + 10)^{\circ}, ∠ DCE = (3 x - 20)^{\circ}$
であるとき、 $x$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $(2 x + 10)^{\circ}$ $(3 x - 20)^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、頂点 $A, B, C, D$ はこの順に円周上に並んでいる。辺 $BC$ を点 $C$ の側に延長した直線上に点 $E$ をとると、 $∠ DCE = 9 8^{\circ}$ であった。このとき、 $∠ BAD$ の大きさを求めよ。ただし、答えは度を単位とする数値で答えよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $9 8^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ がある。対角線 $BD$ について、 $∠ ABD = 3 5^{\circ}$ 、 $∠ ADB = 6 0^{\circ}$ である。辺 $BC$ を点 $C$ の側に延長した直線上に点 $E$ をとる。 $∠ DCE = x^{\circ}$ とするとき、 $x$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $3 5^{\circ}$ $6 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円 $O$ に $△ ABC$ が内接しており、 $∠ BAC = 4 8^{\circ}$ 、 $∠ ACB = 6 0^{\circ}$ である。点 $A$ における円 $O$ の接線上に、直線 $AC$ に関して点 $B$ と反対側にある点 $T$ をとる。 $∠ TAC$ の大きさは何度か。度を単位として数値で答えよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $T$ $4 8^{\circ}$ $6 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円 $O$ の周上に $3$ 点 $A$ , $B$ , $C$ がある。直線 $ℓ$ は点 $A$ で円 $O$ に接している。 $ℓ$ 上に、直線 $AB$ に関して点 $C$ と反対側に点 $T$ をとる。 $∠ BAT = 5 2^{\circ}$ のとき、 $∠ ACB$ の大きさは何度か求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $T$ $ℓ$ $5 2^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円 $O$ に三角形 $ABC$ が内接している。点 $A$ における円 $O$ の接線上に点 $T$ を、直線 $AB$ に関して点 $C$ と反対側にとる。 $∠ TAB = 4 8^{\circ}$ 、 $∠ BAC = 6 4^{\circ}$ のとき、 $∠ ABC = x^{\circ}$ として、 $x$ の値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $T$ $4 8^{\circ}$ $6 4^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心 $O$ 、半径 $4$ の円 $O$ と、中心 $O^{'}$ 、半径 $2$ の円 $O^{'}$ があり、中心間の距離は $O O^{'} = 10$ である。この $2$ つの円の共通内接線の $1$ 本が、円 $O$ と点 $A$ で、円 $O^{'}$ と点 $B$ で接している。線分 $AB$ の長さを求めよ。
$O$ $O^{'}$ $A$ $B$ $4$ $2$ $10$
難易度 1（教科書の例題レベル）
中心 $O$ 、半径 $4$ の円 $O$ と、中心 $O^{'}$ 、半径 $2$ の円 $O^{'}$ があり、中心間の距離は $O O^{'} = 10$ である。この $2$ つの円の共通内接線の $1$ 本が、円 $O$ と点 $A$ で、円 $O^{'}$ と点 $B$ で接している。線分 $AB$ の長さを求めよ。
$O$ $O^{'}$ $A$ $B$ $10$ $4$ $2$
難易度 1（教科書の例題レベル）
鋭角三角形 $ABC$ において、 $∠ ABC = 7 0^{\circ}$ 、 $∠ ACB = 4 5^{\circ}$ とする。頂点 $A, B, C$ から対辺 $BC, CA, AB$ にそれぞれ垂線 $AD, BE, CF$ を引き、その交点（垂心）を $H$ とする。 $∠ BHC$ の大きさは何度か求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $H$ $7 0^{\circ}$ $4 5^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
鋭角三角形 $ABC$ において、 $∠ BAC = 5 6^{\circ}$ とする。頂点 $B$ から辺 $CA$ に下ろした垂線を $BE$ 、頂点 $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線を $CF$ とし、 $BE$ と $CF$ の交点を $H$ とする。 $∠ BHC$ の大きさは何度か。
$A$ $B$ $C$ $E$ $F$ $H$ $5 6^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
鋭角三角形 $ABC$ において、頂点 $A, B, C$ からそれぞれ対辺 $BC, CA, AB$ に垂線 $AD, BE, CF$ を引く。これらの垂線は 1 点で交わり、その点を $H$ （ $△ ABC$ の垂心）とする。 $∠ BAC = 6 4^{\circ}$ のとき、 $∠ BHC$ の大きさは何度か。度を単位として数値で答えよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $H$ $6 4^{\circ}$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
円の外部にある点 $P$ を通る 2 本の直線がある。1 本は円と 2 点 $A$ , $B$ で交わり、 $P$ , $A$ , $B$ はこの順に並んでいる。もう 1 本は円と 2 点 $C$ , $D$ で交わり、 $P$ , $C$ , $D$ はこの順に並んでいる。 $PA = 4$ , $AB = 5$ , $PC = 3$ のとき、弦 $CD$ の長さを求めよ。
$P$ $A$ $B$ $C$ $D$ $4$ $5$ $3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円と、その円の外部にある点 $P$ がある。 $P$ を通る直線が円と 2 点 $A$ , $B$ で交わり、 $P$ を通る別の直線が円と 2 点 $C$ , $D$ で交わっている。 $P$ , $A$ , $B$ はこの順に、 $P$ , $C$ , $D$ はこの順に並んでいる。 $PA = 4$ , $AB = 5$ , $PC = 3$ のとき、弦 $CD$ の長さを求めよ。
$P$ $A$ $B$ $C$ $D$ $4$ $5$ $3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
円の外部に点 $P$ がある。 $P$ を通る 2 本の直線のうち、一方は円と 2 点 $A$ , $B$ で交わり、もう一方は円と 2 点 $C$ , $D$ で交わる。 $P$ , $A$ , $B$ はこの順に、 $P$ , $C$ , $D$ はこの順に並んでいる。 $PA = 4$ , $AB = 5$ , $PC = 3$ のとき、弦 $CD$ の長さを求めよ。
$P$ $A$ $B$ $C$ $D$ $4$ $5$ $3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、辺 $AB$ 上に点 $D$ 、辺 $AC$ 上に点 $E$ を、 $DE ∥ BC$ となるようにとる。 $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ のとき、線分 $EC$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $6$ $4$ $9$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
中心 $O$ 、半径 $5$ の円があり、円の外部の点 $P$ は $OP = 13$ を満たす。 $P$ から円に引いた接線の接点の 1 つを $T$ とする。また、 $P$ を通る直線が円と 2 点 $A$ , $B$ で交わり、 $P$ , $A$ , $B$ はこの順に並んでいて、 $PA : AB = 9 : 7$ である。このとき、中心 $O$ と直線 $AB$ の距離を求めよ。
$O$ $P$ $T$ $A$ $B$ $5$ $13$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
円 $O$ の外部に点 $P$ があり， $P O = 7$ である。点 $P$ から円 $O$ に引いた接線の接点の 1 つを $T$ とする。また，点 $P$ を通る直線が円 $O$ と 2 点 $A$ , $B$ で交わり， $P A = 3$ , $A B = 5$ である（点 $A$ は線分 $P B$ 上にある）。円 $O$ の半径を求めよ。
$O$ $P$ $T$ $A$ $B$ $7$ $3$ $5$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $BC = 5$ , $CA = 4$ とする。 $△ ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $ID$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $I$ $D$ $6$ $5$ $4$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $BC = 5$ , $CA = 4$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。また、辺 $CA$ 上に点 $E$ を $AE : EC = 1 : 2$ となるようにとる。線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P$ とするとき、 $\frac{BP}{PE}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $P$ $6$ $5$ $4$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 7$ , $BC = 8$ , $CA = 5$ とする。 $△ ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AI$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $I$ $D$ $7$ $8$ $5$
難易度 3（共通テストレベル）
半径 $6$ の円 $O$ と半径 $2$ の円 $O^{'}$ が外接している。この 2 円の共通外接線の 1 本を $ℓ$ とする。直線 $ℓ$ と 2 円 $O, O^{'}$ で囲まれた部分に、円 $O$ 、円 $O^{'}$ 、直線 $ℓ$ のすべてに接する円 $P$ がある。ただし、円 $P$ は円 $O, O^{'}$ のどちらとも外接している。円 $P$ の半径 $r$ を求めよ。
$O$ $O^{'}$ $P$ $ℓ$ $6$ $2$
難易度 3（共通テストレベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $P$ とする。 $AB = AD = 6$ 、 $BD = 9$ 、 $AP = 4$ であり、 $BP < PD$ であるとき、辺 $CD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $P$ $6$ $6$ $4$ $9$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $BC = 5$ , $CA = 4$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。辺 $AB$ 上に $AE : EB = 1 : 2$ となる点 $E$ をとり、線分 $AD$ と線分 $CE$ の交点を $P$ とする。 $△ PBC$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $P$ $6$ $5$ $4$
難易度 3（共通テストレベル）
中心間の距離が $10$ である $2$ つの円 $O$ , $O^{'}$ がある。円 $O$ の半径は $6$ 、円 $O^{'}$ の半径は $r$ （ $r > 0$ ）であり、この $2$ つの円は共通接線をちょうど $4$ 本もつとする。
共通外接線の $1$ つが円 $O$ , $O^{'}$ と接する点をそれぞれ $A$ , $B$ とし、共通内接線の $1$ つが円 $O$ , $O^{'}$ と接する点をそれぞれ $C$ , $D$ とする。
$AB = 2 CD$ が成り立つとき、 $r$ の値を求めよ。
$O$ $O^{'}$ $A$ $B$ $C$ $D$ $10$ $6$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 8$ , $BC = 7$ , $CA = 5$ とする。点 $B$ で直線 $AB$ に接し、点 $C$ を通る円を $K$ とする。直線 $AC$ と円 $K$ の交点のうち、 $C$ と異なる点を $E$ とする。線分 $BE$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $E$ $K$ $8$ $7$ $5$
難易度 3（共通テストレベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、 $AB = AD = 7$ , $BC = 6$ , $CD = 3$ である。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とするとき、線分 $AE$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $7$ $6$ $3$ $7$
難易度 3（共通テストレベル）
円 $O$ の外部にある点 $P$ から円 $O$ に接線を引き、その接点を $T$ とする。また、 $P$ を通る直線が円 $O$ と $2$ 点 $A$ , $B$ で交わり、 $P$ , $A$ , $B$ はこの順に並んでいる。
$P A = 4$ , $A B = 5$ , $T A = 4$ のとき、円 $O$ の半径を求めよ。
$P$ $A$ $B$ $T$ $O$ $4$ $4$ $5$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $CA = 2$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ 、辺 $CA$ の中点を $E$ 、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $F$ とする（ $AF : FB = 2 : 1$ ）。
線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P$ 、線分 $BE$ と線分 $CF$ の交点を $Q$ 、線分 $CF$ と線分 $AD$ の交点を $R$ とする。 $△ PQR$ の面積は $△ ABC$ の面積の何倍か。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $P$ $Q$ $R$ $4$ $2$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 13$ , $BC = 14$ , $CA = 15$ とする。 $△ ABC$ の外心を $O$ 、内心を $I$ 、垂心を $H$ とする。 $△ OIH$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $O$ $I$ $H$ $13$ $14$ $15$
点 O, I, H の付近は見やすさのため点の印だけを示す
難易度 3（共通テストレベル）
円 $O$ （中心も $O$ で表す）に内接する四角形 $ABCD$ がある。辺 $AB$ を $B$ の側に延長した半直線と、辺 $DC$ を $C$ の側に延長した半直線が点 $E$ で交わり、
$EB = 2, AB = 4, EC = 3, ∠ AED = 6 0^{\circ}$
である。このとき、線分 $EO$ の長さを求めよ。
$E$ $B$ $A$ $C$ $D$ $O$ 243 $6 0^{\circ}$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ の $3$ 辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ をそれぞれ $15$ 等分する点を考える（各辺に $14$ 個ずつあり、頂点は含まない）。辺 $BC$ 上のこれらの点から $D$ を、辺 $CA$ 上のこれらの点から $E$ を、辺 $AB$ 上のこれらの点から $F$ を $1$ つずつ選ぶ。選び方は全部で $1 4^{3}$ 通りあるが、このうち $3$ 直線 $AD$ , $BE$ , $CF$ が $1$ 点で交わるような選び方は何通りあるか。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
D, E, F の選び方の一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $ABC$ において、 $AB = 8$ , $BC = 7$ , $CA = 6$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ 、 $∠ B$ の二等分線と辺 $CA$ の交点を $E$ とする。さらに、直線 $DE$ と直線 $AB$ の交点を $F$ とする。三角形 $AEF$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
図の縮尺は正確ではありません
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
中心 $O_{1}$ 、半径 $15$ の円 $C_{1}$ と、中心 $O_{2}$ 、半径 $13$ の円 $C_{2}$ があり、 $O_{1} O_{2} = 14$ である。 $C_{1}$ と $C_{2}$ は 2 点で交わる。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の共通外接線の 1 本を $ℓ$ とし、 $ℓ$ が $C_{1}$ に接する点を $A$ 、 $C_{2}$ に接する点を $B$ とする。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の 2 つの交点のうち、直線 $ℓ$ に近い方を $P$ 、遠い方を $Q$ とし、直線 $P Q$ と直線 $ℓ$ の交点を $M$ とする。線分 $M P$ の長さを求めよ。
$O_{1}$ $O_{2}$ $A$ $B$ $P$ $Q$ $M$ $ℓ$ $14$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $ABC$ において、 $AB = 5$ , $BC = 7$ , $CA = 8$ とする。三角形 $ABC$ の外心を $O$ 、内心を $I$ 、垂心を $H$ とするとき、三角形 $OIH$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $O$ $I$ $H$ $5$ $7$ $8$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ があり、
$AB = BC = 7, CD = 5, DA = 3$
である。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とするとき、線分 $BE$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $7$ $7$ $5$ $3$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ A B C$ において $A B = 4$ , $B C = 5$ , $C A = 6$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $B C$ の交点を $D$ 、 $∠ B$ の二等分線と辺 $C A$ の交点を $E$ とする。直線 $D E$ と直線 $A B$ の交点を $F$ とするとき、線分 $C F$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $4$ $5$ $6$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ A B C$ において、 $A B = 5$ , $B C = 7$ , $C A = 8$ とする。 $△ A B C$ の外心を $O$ 、内心を $I$ 、垂心を $H$ とするとき、 $△ O I H$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $O$ $I$ $H$ $5$ $7$ $8$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
平面上に、中心 $O_{1}$ 、半径 $5$ の円 $C_{1}$ と、中心 $O_{2}$ 、半径 $3$ の円 $C_{2}$ がある。 $O_{1} O_{2} = 6$ とする。2 円の共通外接線の 1 本を $ℓ$ とし、 $ℓ$ と $C_{1}$ の接点を $P$ 、 $ℓ$ と $C_{2}$ の接点を $Q$ とする。2 円 $C_{1}$ , $C_{2}$ の 2 つの交点のうち、直線 $ℓ$ に近い方を $A$ とするとき、点 $A$ と直線 $ℓ$ の距離を求めよ。
$O_{1}$ $O_{2}$ $P$ $Q$ $A$ $6$ $5$ $3$ $ℓ$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ において、 $AB = AD = 4$ , $BC = 6$ , $CD = 3$ である。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $P$ とするとき、線分 $AP$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $P$ $4$ $6$ $3$ $4$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
直線 $ℓ$ と、 $ℓ$ の同じ側にあって $ℓ$ に接する半径 $1$ の $2$ つの円 $C_{1}, C_{2}$ があり、 $C_{1}$ と $C_{2}$ は外接している。 $n = 2, 3, 4, \dots$ に対して、円 $C_{n + 1}$ を「 $ℓ, C_{n - 1}, C_{n}$ のすべてに接し、 $ℓ, C_{n - 1}, C_{n}$ で囲まれた部分にある円」と順に定める。円 $C_{n}$ と $ℓ$ の接点を $T_{n}$ とする。
$n \to \infty$ のとき、点 $T_{n}$ は $ℓ$ 上のある点 $P$ に限りなく近づく。線分 $T_{1} P$ の長さを求めよ。
$T_{1}$ $T_{2}$ $T_{3}$ $T_{4}$ $ℓ$ $C_{1}$ $C_{2}$ $C_{3}$ $C_{4}$
$C_{4}$ までを描いた図
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$∠ A$ が鈍角である $△ ABC$ において、頂点 $A, B, C$ から、それぞれ直線 $BC, CA, AB$ に下ろした垂線の足を $D, E, F$ とする（3 本の垂線を含む直線は $△ ABC$ の垂心で交わる）。 $△ DEF$ が $△ ABC$ と相似であるとき、 $∠ A$ の大きさを弧度法で求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
$∠ A$ が鈍角の三角形の一例（相似の条件は満たしていない）
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
円 $O$ （中心も $O$ で表す）に内接する四角形 $ABCD$ があり、頂点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ はこの順に円周上に並んでいる。対角線 $AC$ と $BD$ は点 $P$ で垂直に交わり、
$AC = 8, PB = 3, PD = 4, PA < PC$
である。点 $P$ を通り直線 $AB$ に垂直な直線が辺 $CD$ と交わる点を $M$ とする。三角形 $OPM$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $P$ $O$ $M$ $3$ $4$ $8$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 8$ , $AB + AC = 13$ とする。 $△ ABC$ の外心を $O$ 、内心を $I$ とすると、 $O$ と $I$ は一致せず、直線 $OI$ は辺 $BC$ と平行である。このとき、線分 $OI$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $O$ $I$ $8$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
中心 $O$ 、半径 $9$ の円 $C_{1}$ と、中心 $O^{'}$ 、半径 $4$ の円 $C_{2}$ があり、 $C_{2}$ は $C_{1}$ に点 $T$ で内接している。 $C_{1}$ の弦 $AB$ が点 $P$ で $C_{2}$ に接していて、 $AP : PB = 1 : 3$ である。このとき、弦 $AB$ の長さを求めよ。
$O$ $O^{'}$ $T$ $A$ $B$ $P$ $C_{1}$ $C_{2}$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $BC = 7$ , $CA = 5$ とする。 $△ ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とする。点 $A$ を通り、点 $D$ で直線 $BC$ に接する円を $ω$ とする。 $ω$ と辺 $AB$ の $A$ 以外の交点を $E$ 、 $ω$ と辺 $AC$ の $A$ 以外の交点を $F$ とする。さらに、直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $T$ とする。線分 $TD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $T$ $6$ $5$ $7$ $ω$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $AC = 4$ とします。次の $3$ 本の線分を考えます。
- $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とした線分 $AD$
- 辺 $CA$ の中点を $M$ とした線分 $BM$
- 点 $C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とした線分 $CH$
この $3$ 本が $1$ 点 $P$ で交わるとき、 $△ PBC$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $M$ $H$ $P$ $6$ $4$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 6$ , $CA = 5$ , $AB = 7$ とする。 $△ ABC$ の内接円を $ω$ 、外接円を $Γ$ とし、 $ω$ と辺 $BC$ の接点を $D$ とする。直線 $AD$ が $ω$ と交わる $D$ 以外の点を $E$ 、直線 $AD$ が $Γ$ と交わる $A$ 以外の点を $F$ とする。点 $F$ から $ω$ に引いた接線の、 $F$ から接点までの長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $7$ $5$ $6$ $Γ$ $ω$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 5$ , $CA = 4$ とする（辺 $BC$ の長さは与えられていない）。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ 、辺 $CA$ の中点を $M$ 、頂点 $C$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。3 直線 $AD$ , $BM$ , $CH$ が 1 点 $P$ で交わるとき、 $△ PBC$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $M$ $H$ $P$ $5$ $4$