図形の性質の問題

$a=\mathrm{BC}=8$, $b=\mathrm{CA}$, $c=\mathrm{AB}$ とおくと $b+c=13$ である。外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$、面積を $S$ とする。

(1) 条件を式にする

内心 $\mathrm{I}$ は三角形の内部にあるので、直線 $\mathrm{BC}$ に関して $\mathrm{A}$ と同じ側にあり、$\mathrm{BC}$ との距離は $r$ である。$\mathrm{OI}\parallel \mathrm{BC}$ より、$\mathrm{O}$ も $\mathrm{BC}$ に関して $\mathrm{A}$ と同じ側にあり、$\mathrm{BC}$ との距離は $r$ である。

$\angle \mathrm{A}$ が直角なら $\mathrm{O}$ は $\mathrm{BC}$ 上、鈍角なら $\mathrm{O}$ は $\mathrm{BC}$ に関して $\mathrm{A}$ と反対側にあるので不適。よって $\angle \mathrm{A}$ は鋭角である。$\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると $\mathrm{OM}\perp \mathrm{BC}$、円周角の定理より $\angle \mathrm{BOM}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{BOC}=A$ なので
$$\mathrm{OM}=R\cos A=\frac{a}{2\sin A}\cos A$$
（正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ を用いた）。一方 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ より $r=\frac{bc\sin A}{a+b+c}$。条件 $\mathrm{OM}=r$ は
$$\frac{a\cos A}{2\sin A}=\frac{bc\sin A}{a+b+c}⟺a(a+b+c)\cos A=2bc{\sin }^{2}A.$$

(2) $bc$ を求める

$q=bc$ とおく。$b^2+c^2=(b+c{)}^2-2q=169-2q$ なので、余弦定理より
$$\cos A=\frac{169-2q-64}{2q}=\frac{105-2q}{2q}.$$
また $1+\cos A=\frac{105}{2q}$, $1-\cos A=\frac{4q-105}{2q}$ より
$${\sin }^{2}A=(1+\cos A)(1-\cos A)=\frac{105(4q-105)}{4q^2}.$$
$a=8$, $a+b+c=21$ を代入すると
$$8\cdot 21\cdot \frac{105-2q}{2q}=2q\cdot \frac{105(4q-105)}{4q^2}$$
$$\frac{84(105-2q)}{q}=\frac{105(4q-105)}{2q}.$$
両辺に $2q$ を掛けて $168(105-2q)=105(4q-105)$、両辺を $21$ で割って $8(105-2q)=5(4q-105)$、すなわち $840-16q=20q-525$ より $36q=1365$、
$$q=bc=\frac{455}{12}.$$
このとき $\cos A=\frac{105-\frac{455}{6}}{\frac{455}{6}}=\frac{175}{455}=\frac{5}{13}>0$ で、$A$ は確かに鋭角である。

(3) $\mathrm{OI}$ を求める

$(b-c{)}^2=(b+c{)}^2-4bc=169-\frac{455}{3}=\frac{52}{3}>0$ なので $b\ne c$ で、$|b-c|=\sqrt{\frac{52}{3}}<8=a$ より三角形は確かに存在する。

内接円と $\mathrm{BC}$ の接点を $\mathrm{D}$ とすると $\mathrm{ID}\perp \mathrm{BC}$, $\mathrm{OM}\perp \mathrm{BC}$, $\mathrm{ID}=\mathrm{OM}=r$ なので、四角形 $\mathrm{OMDI}$ は長方形であり $\mathrm{OI}=\mathrm{MD}$。接線の長さの性質より $\mathrm{BD}=\frac{a+c-b}{2}$、また $\mathrm{BM}=\frac{a}{2}$ なので
$$\mathrm{MD}=\left|\frac{a}{2}-\frac{a+c-b}{2}\right|=\frac{|b-c|}{2}.$$
よって
$$\mathrm{OI}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{52}{3}}=\sqrt{\frac{13}{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3}.$$
（参考: $\sin A=\frac{12}{13}$ より $R=\frac{13}{3}$, $S=\frac{35}{2}$, $r=\frac{5}{3}$ で、$R\cos A=\frac{5}{3}=r$ が確かめられる。）

$a=\mathrm{BC}=8$, $b=\mathrm{CA}$, $c=\mathrm{AB}$ とおく。$b+c=13$。

【方針】直線 OI が BC と平行になる条件は、O から BC までの距離と内接円半径 $r$ が等しいこと。これを辺の式で表す。

外接円半径を $R$ とすると、O から BC までの距離は $R\cos A$。したがって条件は $R\cos A=r$。

公式 $\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}$ より、$\cos B+\cos C=1$ となる。

余弦定理より
$\cos B+\cos C=\frac{(b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{2abc}=\frac{(b+c)\{a^2-(b-c{)}^2\}}{2abc}$。

$bc=p$ とおくと $(b-c{)}^2=169-4p$。よって $a^2-(b-c{)}^2=64-169+4p=4p-105$。

条件 $\cos B+\cos C=1$ より $13(4p-105)=16p$。これを解くと $36p=1365$、$p=\frac{455}{12}$。

このとき $(b-c{)}^2=169-\frac{455}{3}=\frac{52}{3}>0$。また $|b-c|<8$ なので三角形は存在する。

【OI の長さ】O から BC への垂線の足は BC の中点 M。I から BC への垂線の足は内接円の接点 D で、$\mathrm{BD}=s-b$ （$s=\frac{21}{2}$）。

$\mathrm{MD}=\left|\frac{21}{2}-b-4\right|=\left|\frac{13}{2}-b\right|=\frac{|b-c|}{2}$。

OI は BC と平行なので $\mathrm{OI}=\mathrm{MD}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{52}{3}}=\sqrt{\frac{13}{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$。

$b\ne c$ なので O と I は一致せず、条件を満たす。

【検算】${\mathrm{OI}}^2=\frac{13}{3}$。$b-c=\pm \frac{2\sqrt{39}}{3}$ とすると $b,c=\frac{13}{2}\pm \frac{\sqrt{39}}{3}$ で、$bc=\frac{169}{4}-\frac{13}{3}=\frac{507-52}{12}=\frac{455}{12}$ となり $p$ と一致する。