図形の性質の問題

点 $D$, $E$ の位置

$AD$ は $\angle A$ の二等分線なので
$$BD:DC=AB:AC=4:6=2:3$$
よって $BD=5\cdot \frac{2}{5}=2$, $DC=3$ である。

$BE$ は $\angle B$ の二等分線なので
$$AE:EC=BA:BC=4:5$$
よって $AE=6\cdot \frac{4}{9}=\frac{8}{3}$, $EC=\frac{10}{3}$ である。

メネラウスの定理で点 $F$ の位置を求める

直線 $DE$ は辺 $BC$, $CA$ と内分点 $D$, $E$ で交わるので、直線 $AB$ とは辺 $AB$ の延長上の点 $F$ で交わる。$△ABC$ と直線 $DEF$ にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$$
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}=1\text{より}\frac{AF}{FB}=\frac{6}{5}$$
$AF>FB$ なので、$F$ は辺 $AB$ の $B$ 側の延長上にあり、$AF-FB=AB=4$ である。$AF=6k$, $FB=5k$ とおくと $k=4$ となり
$$FB=20,AF=24$$

余弦定理で $CF$ を求める

$△ABC$ において余弦定理より
$$\cos \angle ABC=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$
$F$ は $B$ に関して $A$ と反対側にあるので $\angle FBC=180^{\circ }-\angle ABC$ であり、
$$\cos \angle FBC=-\frac{1}{8}$$
$△FBC$ において余弦定理より
$$C{F}^2=F{B}^2+B{C}^2-2\cdot FB\cdot BC\cos \angle FBC=400+25-2\cdot 20\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=425+25=450$$
$CF>0$ より
$$CF=\sqrt{450}=15\sqrt{2}$$

(参考) $AF:FB=6:5=CA:CB$ なので、$CF$ は $\angle C$ の外角の二等分線になっている。

角の二等分線の定理より、$BD:DC=AB:AC=4:6$ なので $BD=2,DC=3$ である。また $CE:EA=BC:BA=5:4$ である。

△ABC と直線 $DE$ にメネラウスの定理を用いると、
$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ より $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}=1$。よって $\frac{AF}{FB}=\frac{6}{5}$ となる。

$AF>FB$ であり、$F$ は辺 $AB$ の外にあるので、$F$ は $A$ から見て $B$ の先にある。$BF=x$ とおくと $\frac{4+x}{x}=\frac{6}{5}$ で、$x=20$ となる。

$\cos B=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$。$F$ は $AB$ の $B$ 側の延長上にあるので $\angle CBF=180^{\circ }-B$ であり、$\cos \angle CBF=-\frac{1}{8}$ である。

△BCF に余弦定理を用いると、
$C{F}^2=5^2+20^2-2\cdot 5\cdot 20\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=25+400+25=450$。

よって $CF=15\sqrt{2}$。

検算：座標で確認する。$B=(0,0),A=(4,0)$ とおくと $C=(5/8,5\sqrt{63}/8)$ となる。$F=(-20,0)$ なので $C{F}^2=(5/8+20{)}^2+\frac{25\cdot 63}{64}=\frac{165^2+1575}{64}=\frac{27225+1575}{64}=\frac{28800}{64}=450$ となり、一致する。