において、辺 上の点 は を満たし、辺 上の点 は を満たす。直線 と辺 の の側への延長との交点を とする。 の値を求めよ。
メネラウスの定理
三角形の 3 辺（またはその延長）と交わる直線について を使い、線分の比を求められる
前提
- 平行線と線分の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
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- 平行線と線分の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
説明
メネラウスの定理は、三角形の 3 辺（またはその延長）と 1 本の直線が交わるときに、辺の上にできる線分の比どうしが満たす関係を表します。3 つの比のうち 2 つがわかれば、残りの 1 つを計算で求められます。図形の中で線分の比を求める問題や、交点が辺をどんな比に分けるかを調べる問題で使います。
なぜそうしてよいのか
と、どの頂点も通らない直線 があり、 が直線 と点 、直線 と点 、直線 と点 で交わるとします。交点は辺の上にあっても延長上にあってもかまいません。頂点 から に垂線を下ろし、その長さを とします。 は頂点を通らないので はどれも ではありません。
から下ろした垂線の足を とすると、 と はどちらも直角三角形で、 のところの角が等しくなります（ が辺 上にあれば は の反対側にあり、2 つの角は対頂角です。 が延長上にあれば は の同じ側にあり、2 つの角は同じ角です）。したがって 2 つの三角形は相似で、 となります（ がちょうど に垂直なときは , なので、そのままこの式が成り立ちます）。同じ理由で 、 です。これらを掛けると となります。この説明は交点が辺の上か延長上か（ が の側か の側か、3 つとも延長上か）に関係なく使えるので、どの配置でも同じ式が成り立ちます。
式の形は「頂点 → 交点 → 頂点 → 交点 …」と三角形を一周すると覚えられます。 と進み、通った線分を順に分子・分母・分子・分母…と並べます。交点が延長上にあっても、使うのは「頂点から交点まで」の長さです。
手順
使う三角形と、それを横切る直線を決める。直線が三角形のどの頂点も通らないことを確かめる
直線と 3 辺（またはその延長）との交点を確認し、それぞれどの辺上・どの延長上にあるかを図で押さえる
ある頂点から出発し「頂点 → 交点 → 頂点 → 交点 → 頂点 → 交点 → 最初の頂点」と一周して式を書く：
わかっている比を、式の中の線分の並び順にそろえて代入する（ は として入れる）
残った比について方程式を解き、求める比を答える
例題
において、辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とする（、）。直線 と辺 の延長との交点を とするとき、 を求めよ。
例題の解答
手順 1： と直線 を考える。 は辺 の内部の点、 は辺 の内部の点なので、直線 は のどれも通らない（もし通れば直線 が直線 か直線 と一致し、 か が に重なってしまう）。
手順 2：交点は、辺 上の 、辺 上の 、辺 の延長上の である。
手順 3： と一周して
手順 4：、 を代入して
手順 5： より 。（ より大きいので で、 は の側の延長上にあることがわかる。）
答え:
よくある誤り
一周する順番を崩して のように書いてしまう誤り。正しくは の順に、通った線分を分子・分母と交互に並べて とする
延長上の交点 について、辺の長さ を使って としてしまう誤り。正しくは頂点から交点までの長さを使い とする。 は、 が の側の延長上なら 、 の側の延長上なら である
比の向きを取り違え、 なのに と代入してしまう誤り。正しくは で、式の中の線分の並び順と比の並び順をそろえて代入する
求めたい比を含まない三角形や、頂点を通る直線に当てはめてしまう誤り。正しくは、求めたい比と既知の比がすべてその三角形の辺（または延長）上に並び、直線がどの頂点も通らない組み合わせを選ぶ
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
, において、辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とする。直線 と辺 の延長との交点を とするとき、 の値を求めよ。
, において、 とする。辺 を に内分する点を 、辺 を に内分する点を とする。直線 と辺 の の側への延長との交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
,
この技能を使う問題
において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とする。また、辺 上に点 を となるようにとる。線分 と線分 の交点を とするとき、 の値を求めよ。
において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とする。辺 上に となる点 をとり、線分 と線分 の交点を とする。 の面積を求めよ。
において、, とする。 の二等分線と辺 の交点を 、辺 の中点を 、辺 を に内分する点を とする（）。
線分 と線分 の交点を 、線分 と線分 の交点を 、線分 と線分 の交点を とする。 の面積は の面積の何倍か。
三角形 において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。三角形 の面積を求めよ。
図の縮尺は正確ではありません において , , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の内接円と辺 の接点を とする。点 を通り、点 で直線 に接する円を とする。 と辺 の 以外の交点を 、 と辺 の 以外の交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
において、, とします。次の 本の線分を考えます。
- の二等分線と辺 の交点を とした線分
- 辺 の中点を とした線分
- 点 から辺 に下ろした垂線の足を とした線分
この 本が 点 で交わるとき、 の面積を求めよ。
において、, とする（辺 の長さは与えられていない）。 の二等分線と辺 の交点を 、辺 の中点を 、頂点 から直線 に下ろした垂線の足を とする。3 直線 , , が 1 点 で交わるとき、 の面積を求めよ。