図形の性質の問題

$△\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とする。

角の二等分線の性質より
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:2=3:1$$
また $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:1$、$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=2:1$ である。

線分 $\mathrm{BE}$ 上の比

$△\mathrm{ABE}$ と直線 $\mathrm{CF}$（$\mathrm{F}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上、$\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{BE}$ 上、$\mathrm{C}$ は辺 $\mathrm{AE}$ の延長上）にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QE}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{CA}}=1\text{より}\frac{2}{1}\cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QE}}\cdot \frac{1}{2}=1$$
よって $\mathrm{BQ}:\mathrm{QE}=1:1$、すなわち $\mathrm{BQ}=\frac{1}{2}\mathrm{BE}$。

$△\mathrm{BCE}$ と直線 $\mathrm{AD}$（$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上、$\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BE}$ 上、$\mathrm{A}$ は辺 $\mathrm{CE}$ の延長上）にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AE}}\cdot \frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1\text{より}3\cdot 2\cdot \frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1$$
よって $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=6:1$、すなわち $\mathrm{BP}=\frac{6}{7}\mathrm{BE}$。

したがって $\mathrm{QP}=\left(\frac{6}{7}-\frac{1}{2}\right)\mathrm{BE}=\frac{5}{14}\mathrm{BE}$、$\mathrm{QE}=\frac{1}{2}\mathrm{BE}$ なので
$$\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QE}}=\frac{5}{14}÷\frac{1}{2}=\frac{5}{7}$$

線分 $\mathrm{CF}$ 上の比

$△\mathrm{CAF}$ と直線 $\mathrm{BE}$（$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{CA}$ 上、$\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{CF}$ 上、$\mathrm{B}$ は辺 $\mathrm{AF}$ の延長上）にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BF}}\cdot \frac{\mathrm{FQ}}{\mathrm{QC}}=1\text{より}1\cdot 3\cdot \frac{\mathrm{FQ}}{\mathrm{QC}}=1$$
よって $\mathrm{CQ}:\mathrm{QF}=3:1$、すなわち $\mathrm{CQ}=\frac{3}{4}\mathrm{CF}$。

$△\mathrm{BCF}$ と直線 $\mathrm{AD}$（$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上、$\mathrm{R}$ は辺 $\mathrm{CF}$ 上、$\mathrm{A}$ は辺 $\mathrm{BF}$ の延長上）にメネラウスの定理を用いると
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RF}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{AB}}=1\text{より}3\cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RF}}\cdot \frac{2}{3}=1$$
よって $\mathrm{CR}:\mathrm{RF}=1:2$、すなわち $\mathrm{CR}=\frac{1}{3}\mathrm{CF}$。

したがって $\mathrm{QR}=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right)\mathrm{CF}=\frac{5}{12}\mathrm{CF}$ なので
$$\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QC}}=\frac{5}{12}÷\frac{3}{4}=\frac{5}{9}$$

面積の比

$\mathrm{E}$ は $\mathrm{CA}$ の中点だから $△\mathrm{BCE}=\frac{1}{2}S$。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{BE}$ の中点だから $△\mathrm{QCE}=\frac{1}{2}△\mathrm{BCE}=\frac{1}{4}S$。

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{QE}$ 上、$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{QC}$ 上にあり、$△\mathrm{QPR}$ と $△\mathrm{QEC}$ は $\angle \mathrm{Q}$ を共有するので
$$△\mathrm{PQR}=\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QE}}\cdot \frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QC}}\cdot △\mathrm{QEC}=\frac{5}{7}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{4}S=\frac{25}{252}S$$

よって、$△\mathrm{PQR}$ の面積は $△\mathrm{ABC}$ の面積の $\frac{25}{252}$ 倍である。

角の二等分線の性質より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:2=3:1$。

$△\mathrm{ABC}$ の頂点 A, B, C に関する重心座標（面積座標）で考える。点 $(x,y,z)$ は $\overrightarrow{\mathrm{O}}=x\vec{\mathrm{A}}+y\vec{\mathrm{B}}+z\vec{\mathrm{C}}$（$x+y+z=1$）を表す。

• $\mathrm{D}=\frac{1\cdot \mathrm{B}+3\cdot \mathrm{C}}{4}$ より $\mathrm{D}=(0,\frac{1}{4},\frac{3}{4})$
• $\mathrm{E}=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$
• $\mathrm{F}=\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{3}$ より $\mathrm{F}=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0)$

直線の方程式は
- AD: $y:z=1:3$ すなわち $z=3y$
- BE: $x:z=1:1$ すなわち $x=z$
- CF: $x:y=1:2$ すなわち $y=2x$

（チェバの定理の積は $\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{1}{1}=6\ne 1$ なので $3$ 直線は一点で交わらず、$△\mathrm{PQR}$ ができる。）

交点:
- $\mathrm{P}=\mathrm{AD}\cap \mathrm{BE}$: $x=z=3y$ より $(3,1,3)/7$
- $\mathrm{Q}=\mathrm{BE}\cap \mathrm{CF}$: $x=z,y=2x$ より $(1,2,1)/4$
- $\mathrm{R}=\mathrm{CF}\cap \mathrm{AD}$: $y=2x,z=3y=6x$ より $(1,2,6)/9$

いずれも線分上にある（座標がすべて $0$ 以上）。

面積比は座標を並べた行列式の絶対値:
$$\frac{△\mathrm{PQR}}{△\mathrm{ABC}}=\frac{1}{7\cdot 4\cdot 9}\left|\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 3\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 6\end{array}\right|\right|.$$
行列式 $=3(12-2)-1(6-1)+3(2-2)=30-5+0=25$。よって $\frac{25}{252}$。

検算: P, Q, R が各行の和 $1$ になるよう正規化済みで、行列式の計算を第 $1$ 列で展開し直しても $3\cdot 10-1\cdot 5+1\cdot (1\cdot ...)$ ではなく、第 $3$ 行で展開すると $1\cdot (1\cdot 1-3\cdot 2)-2\cdot (3\cdot 1-3\cdot 1)+6\cdot (3\cdot 2-1\cdot 1)=-5-0+30=25$ となり一致する。