図形の性質の問題

手順 1：点 D の位置を求める

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので、角の二等分線の性質より
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:4=3:2$$
となる。$\mathrm{BC}=5$ であるから、$\mathrm{BD}=3$, $\mathrm{DC}=2$ である。

手順 2：メネラウスの定理を使う

$△\mathrm{BCE}$ と、3 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{D}$ を通る直線 $\mathrm{AD}$ を考える。この直線は
- 辺 $\mathrm{BC}$ と点 $\mathrm{D}$ で交わり、
- 辺 $\mathrm{CE}$ の延長と点 $\mathrm{A}$ で交わり、
- 辺 $\mathrm{EB}$ と点 $\mathrm{P}$ で交わる。

よってメネラウスの定理より
$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AE}}\cdot \frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1$$
が成り立つ。

手順 3：比を代入して計算する

$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$ より $\mathrm{CA}:\mathrm{AE}=3:1$ である。したがって
$$\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1$$
$$\frac{9}{2}\cdot \frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1$$
$$\frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{9}$$
となる。よって
$$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}=\frac{9}{2}$$
である。

検算

参考として $△\mathrm{ADC}$ と直線 $\mathrm{BE}$ にメネラウスの定理を用いると、
$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{1}=1$$
より $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=5:6$ となる。この結果とも矛盾しない。

角の二等分線の性質より BD:DC = AB:AC = 6:4 = 3:2。よって BD = 3, DC = 2。

△AEC と直線 BPE… ではなく、メネラウスの定理を △BCE と直線 AD（A, P, D）に用いる。直線 AD は辺 BC 上の D、辺 EB 上の P、辺 CE の延長上の A を通る。

$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CA}{AE}\cdot \frac{EP}{PB}=1$

CA:AE = 3:1（AE:EC=1:2 なので AE=4/3、CA=4 より CA/AE=3）。

$\frac{3}{2}\cdot 3\cdot \frac{EP}{PB}=1$ より $\frac{EP}{PB}=\frac{2}{9}$。したがって $\frac{BP}{PE}=\frac{9}{2}$。

検算：ベクトルで A を原点、AB=b、AC=c とする。D=(2b+3c)/5、E=c/3。P = tD = (2t/5)b+(3t/5)c。BE 上: P=(1-s)b+s c/3。よって 2t/5=1-s、3t/5=s/3 → s=9t/5。2t/5=1-9t/5 → 11t/5=1 → t=5/11、s=9/11。BP:PE = s:(1-s)=9:2。一致。