図形の性質の問題

$\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線は、対辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$ に外分します。点 $\mathrm{D}$ はその外分点なので
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:6=3:2$$
です。

$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=3:2$ で $\mathrm{BD}>\mathrm{DC}$ なので、$\mathrm{D}$ は $\mathrm{B}$ から見て $\mathrm{C}$ を越えた側にあります。よって、$\mathrm{CD}=x$ とおくと
$$\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=5+x$$
です。

比の式に代入すると
$$(5+x):x=3:2$$
$$2(5+x)=3x$$
$$10+2x=3x$$
$$x=10$$

したがって $\mathrm{CD}=10$ です。（確かめ：$\mathrm{BD}=15$, $\mathrm{DC}=10$ より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=15:10=3:2$ となり、条件に合います。）

$\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線と直線 BC の交点 D について、外角の二等分線の性質より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:6=3:2$ である。

$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$ なので、D は辺 BC を C の側へ延長した上にあり、$\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}$ となる。

$\mathrm{CD}=x$ とおくと $(5+x):x=3:2$ より $2(5+x)=3x$、よって $x=10$。

検算：$\mathrm{BD}=15$, $\mathrm{CD}=10$ で $15:10=3:2$ となり、$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:6=3:2$ と一致する。

答え：$\mathrm{CD}=10$