図形の性質の問題

内心 $\mathrm{I}$ は 3 つの内角の二等分線の交点です。したがって $\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線であり、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{B}$ の二等分線です。

手順 1：$\mathrm{BD}$ を求める。
$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので、$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3$ に内分します。よって
$$\mathrm{BD}=7\times \frac{4}{4+3}=4$$

手順 2：$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$ を求める。
$△\mathrm{ABD}$ において、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{ABD}$ の二等分線なので、$\mathrm{I}$ は線分 $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{BA}:\mathrm{BD}$ に内分します。
$$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=8:4=2:1$$
（これは公式 $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}):\mathrm{BC}=14:7=2:1$ と一致します。）

手順 3：$\mathrm{AI}$ を求める。
$$\mathrm{AI}=\mathrm{AD}\times \frac{2}{2+1}=6\times \frac{2}{3}=4$$

よって $\mathrm{AI}=4$ です。

AD は $\angle A$ の二等分線なので、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3$ である。$\mathrm{BC}=7$ より $\mathrm{BD}=4$, $\mathrm{DC}=3$ となる。

(確認) スチュワートの定理より ${\mathrm{AB}}^2\cdot \mathrm{DC}+{\mathrm{AC}}^2\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{BC}({\mathrm{AD}}^2+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC})$。左辺は $64\cdot 3+36\cdot 4=336$、右辺は $7({\mathrm{AD}}^2+12)$ なので ${\mathrm{AD}}^2=36$、$\mathrm{AD}=6$ となり、問題の条件と一致する。

I は内心なので BI は $\angle B$ の二等分線である。$△\mathrm{ABD}$ において BI は $\angle \mathrm{B}$ の二等分線なので、$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=8:4=2:1$。

よって $\mathrm{AI}=\frac{2}{3}\mathrm{AD}=\frac{2}{3}\cdot 6=4$。

(検算) $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=(\mathrm{AB}+\mathrm{AC}):\mathrm{BC}=14:7=2:1$ となり一致する。