図形の性質の問題

内心 $\mathrm{I}$ は 3 つの内角の二等分線の交点です。したがって、直線 $\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線、直線 $\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{B}$ の二等分線です。

1. $\mathrm{BD}$, $\mathrm{DC}$ を求める

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線なので
$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=7:5$$
です。$\mathrm{BC}=8$ より
$$\mathrm{BD}=8\times \frac{7}{12}=\frac{14}{3},\mathrm{DC}=8\times \frac{5}{12}=\frac{10}{3}$$

2. $\cos C$ を求める

余弦定理より
$$\cos C=\frac{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

3. $\mathrm{AD}$ を求める

$△\mathrm{ADC}$ に余弦定理を用いると
$${\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{DC}}^2-2\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{DC}\cos C=25+\frac{100}{9}-2\cdot 5\cdot \frac{10}{3}\cdot \frac{1}{2}$$
$$=25+\frac{100}{9}-\frac{50}{3}=\frac{225+100-150}{9}=\frac{175}{9}$$
$\mathrm{AD}>0$ より
$$\mathrm{AD}=\frac{5\sqrt{7}}{3}$$

4. $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$ を求める

$△\mathrm{ABD}$ において、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{ABD}$ の二等分線なので
$$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=7:\frac{14}{3}=3:2$$

5. $\mathrm{AI}$ を求める

$$\mathrm{AI}=\frac{3}{5}\mathrm{AD}=\frac{3}{5}\cdot \frac{5\sqrt{7}}{3}=\sqrt{7}$$

検算

ヘロンの公式で $s=10$ とすると、面積は $\sqrt{10\cdot 2\cdot 3\cdot 5}=10\sqrt{3}$ です。よって内接円の半径は $r=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$ です。

また $\cos A=\frac{49+25-64}{70}=\frac{1}{7}$ より、${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{3}{7}$ です。

したがって
$$\mathrm{AI}=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3/7}}=\sqrt{7}$$
となり、結果が一致します。

答え: $\mathrm{AI}=\sqrt{7}$

$a=BC=8$, $b=CA=5$, $c=AB=7$ とする。余弦定理より $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{1}{7}$。

内心 I から辺 AB に下ろした垂線の足までの距離（接線長）は $s-a$ で、$s=\frac{8+5+7}{2}=10$ より $s-a=2$。

$AI=\frac{s-a}{\cos (A/2)}$ であり、${\cos }^2(A/2)=\frac{1+\cos A}{2}=\frac{1+1/7}{2}=\frac{4}{7}$ なので $\cos (A/2)=\frac{2}{\sqrt{7}}$。

よって $AI=2\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$。

検算：角の二等分線の性質より $BD:DC=7:5$ なので $BD=\frac{56}{12}=\frac{14}{3}$、$DC=\frac{10}{3}$。ステワートの定理より $A{D}^2=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2}\right)=35\left(1-\frac{64}{144}\right)=35\cdot \frac{5}{9}=\frac{175}{9}$。$AI:ID=(b+c):a=12:8=3:2$ なので $AI=\frac{3}{5}AD$ であり、$A{I}^2=\frac{9}{25}\cdot \frac{175}{9}=7$。よって $AI=\sqrt{7}$ で一致する。