技能一覧 › 数学A 図形の性質

内心と傍心

内心が角の二等分線の交点であることから $AI:ID=(AB+AC):BC$ や $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{A}{2}$ を使って長さ・角を求め、傍心の位置もわかる

前提

• 角の二等分線と辺の比 （数学A 図形の性質）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 内心 $I$ は3つの内角の二等分線の交点だと確認し、$BC=a,CA=b,AB=c$ と置く。直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とする。

2. 長さ・比を求めるときは $AI:ID=(b+c):a$ を使う（$BD=\frac{ac}{b+c}$ を出して $AI:ID=AB:BD$ としても同じ）。

3. 角を求めるときは $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{A}{2}$ を使う（$\angle CIA=90^{\circ }+\frac{B}{2}$、$\angle AIB=90^{\circ }+\frac{C}{2}$ も同様）。

4. 傍心 $I_A$ が出てきたら、$\angle A$ の二等分線（直線 $AD$ の $D$ より先）と $\angle B,\angle C$ の外角の二等分線の交点だと位置を決め、$\angle B{I}_{A}C=90^{\circ }-\frac{A}{2}$ を使う。

例題

よくある誤り

• $AI:ID=AB:AC$ としてしまう誤り。$AB:AC$ は $BD:DC$ の比である。正しくは $AI:ID=(AB+AC):BC$。

• $△ABD$ で比をとるとき $AI:ID=AB:BC$ としてしまう誤り。$BI$ が二等分するのは $△ABD$ の $\angle B$ なので、正しくは $AI:ID=AB:BD$（$BD=\frac{ac}{b+c}$）。

• $\angle BIC=90^{\circ }+A$ や $180^{\circ }-A$ としてしまう誤り。$B,C$ を半分にしているので、正しくは $\angle BIC=180^{\circ }-\frac{B+C}{2}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$。例えば $A=60^{\circ }$ なら $120^{\circ }$。

• 傍心でも $\angle B{I}_{A}C=90^{\circ }+\frac{A}{2}$ としてしまう誤り。傍心では外角の二等分線を使うので、正しくは $\angle B{I}_{A}C=90^{\circ }-\frac{A}{2}$（このとき $\angle BIC+\angle B{I}_{A}C=180^{\circ }$）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=8$, $\mathrm{BC}=7$, $\mathrm{CA}=6$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。$\mathrm{AD}=6$ であるとき、線分 $\mathrm{AI}$ の長さを求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{I}$6867

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=9$, $\mathrm{BC}=6$, $\mathrm{CA}=7$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき、$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$ の値を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{I}$$9$$7$$6$

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=8$, $\mathrm{BC}=5$, $\mathrm{CA}=7$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき、$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$ の値を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{I}$$8$$7$$5$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=6$, $\mathrm{BC}=5$, $\mathrm{CA}=4$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。線分 $\mathrm{ID}$ の長さを求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{I}$$\mathrm{D}$$6$$5$$4$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=7$, $\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{CA}=5$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし、直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。線分 $\mathrm{AI}$ の長さを求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{I}$$\mathrm{D}$$7$$8$$5$

• 難易度 3（共通テストレベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=13$, $\mathrm{BC}=14$, $\mathrm{CA}=15$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$、内心を $\mathrm{I}$、垂心を $\mathrm{H}$ とする。$△\mathrm{OIH}$ の面積を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{O}$$\mathrm{I}$$\mathrm{H}$$13$$14$$15$

• 難易度 4（国公立二次の標準レベル）

  三角形 $\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{AB}=5$, $\mathrm{BC}=7$, $\mathrm{CA}=8$ とする。三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$、内心を $\mathrm{I}$、垂心を $\mathrm{H}$ とするとき、三角形 $\mathrm{OIH}$ の面積を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{O}$$\mathrm{I}$$\mathrm{H}$$5$$7$$8$

• 難易度 4（国公立二次の標準レベル）

  $△ABC$ において、$AB=5$, $BC=7$, $CA=8$ とする。$△ABC$ の外心を $O$、内心を $I$、垂心を $H$ とするとき、$△OIH$ の面積を求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{O}$$\mathrm{I}$$\mathrm{H}$$5$$7$$8$

• 難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）

  $△\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{BC}=8$, $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=13$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$、内心を $\mathrm{I}$ とすると、$\mathrm{O}$ と $\mathrm{I}$ は一致せず、直線 $\mathrm{OI}$ は辺 $\mathrm{BC}$ と平行である。このとき、線分 $\mathrm{OI}$ の長さを求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{O}$$\mathrm{I}$$8$