図形の性質の問題

座標を用いて 3 つの点の位置を求める。

頂点の座標

$\mathrm{B}(0,0)$, $\mathrm{C}(14,0)$ とし、$\mathrm{A}(x,y)$（$y>0$）とおく。$\mathrm{AB}=13$, $\mathrm{AC}=15$ より
$$x^2+y^2=169,(x-14{)}^2+y^2=225$$
辺々引くと $-28x+196=56$ より $x=5$、よって $y^2=144$、$y=12$。したがって $\mathrm{A}(5,12)$ である。$△\mathrm{ABC}$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12=84$。

内心 $\mathrm{I}$

内接円の半径を $r$ とすると、$\frac{1}{2}r(13+14+15)=84$ より $r=4$。内接円と辺 $\mathrm{BC}$ の接点を $\mathrm{T}$ とすると、接線の長さの性質から $s=\frac{13+14+15}{2}=21$ として
$$\mathrm{BT}=s-\mathrm{CA}=21-15=6$$
よって $\mathrm{I}(6,4)$。

外心 $\mathrm{O}$

$\mathrm{O}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線 $x=7$ 上にある。$\mathrm{O}(7,k)$ とおくと $\mathrm{OB}=\mathrm{OA}$ より
$$49+k^2=(7-5{)}^2+(k-12{)}^2=k^2-24k+148$$
$24k=99$ より $k=\frac{33}{8}$。よって $\mathrm{O}\left(7,\frac{33}{8}\right)$。

垂心 $\mathrm{H}$

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ への垂線は $x=5$。直線 $\mathrm{AC}$ の傾きは $\frac{12-0}{5-14}=-\frac{4}{3}$ なので、$\mathrm{B}$ を通り $\mathrm{AC}$ に垂直な直線は $y=\frac{3}{4}x$。$x=5$ を代入して $y=\frac{15}{4}$。よって $\mathrm{H}\left(5,\frac{15}{4}\right)$。

$△\mathrm{OIH}$ の面積

$\mathrm{I}$ を基準にすると
$$\overrightarrow{\mathrm{IO}}=\left(1,\frac{1}{8}\right),\overrightarrow{\mathrm{IH}}=\left(-1,-\frac{1}{4}\right)$$
よって
$$△\mathrm{OIH}=\frac{1}{2}\left|1\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{8}\cdot (-1)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{16}$$

答えは $\frac{1}{16}$ である。

座標を置く。$\mathrm{B}(0,0)$, $\mathrm{C}(14,0)$, $\mathrm{A}(5,12)$ とすると、${\mathrm{AB}}^2=25+144=169$, ${\mathrm{CA}}^2=81+144=225$ で条件を満たす。

面積は $\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12=84$。

外心 O: 外接円の半径は $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$。O は BC の垂直二等分線 $x=7$ 上にあり、${\mathrm{OB}}^2=49+y^2=\frac{4225}{64}$ より $y^2=\frac{1089}{64}$、$y=\frac{33}{8}$（A が上側にあるので正）。$\mathrm{O}\left(7,\frac{33}{8}\right)$。（確認: ${\mathrm{OA}}^2=4+{\left(12-\frac{33}{8}\right)}^2=4+\frac{3969}{64}=\frac{4225}{64}$。）

垂心 H: A から BC への垂線は $x=5$。B から CA への垂線を使う。CA の方向は $(-9,12)$ なので、B を通り CA に垂直な直線は $-9x+12y=0$、つまり $y=\frac{3}{4}x$。$x=5$ のとき $y=\frac{15}{4}$。$\mathrm{H}\left(5,\frac{15}{4}\right)$。（確認: $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ より H $=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}-2\mathrm{O}=(19-14,12-\frac{33}{4})=(5,\frac{15}{4})$ で一致。）

内心 I: 内接円の半径は $r=\frac{S}{s}=\frac{84}{21}=4$。よって I の $y$ 座標は $4$。$x$ 座標は $\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c}=\frac{14\cdot 5+15\cdot 0+13\cdot 14}{42}=\frac{252}{42}=6$。$\mathrm{I}(6,4)$。（確認: 直線 CA $4x+3y-56=0$ までの距離 $\frac{|24+12-56|}{5}=4$。）

面積: $\overrightarrow{\mathrm{IO}}=\left(1,\frac{1}{8}\right)$, $\overrightarrow{\mathrm{IH}}=\left(-1,-\frac{1}{4}\right)$。
$△\mathrm{OIH}=\frac{1}{2}\left|1\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{8}\cdot (-1)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{16}$。