垂心

【鋭角三角形の場合】$B$ から $CA$ に下ろした垂線の足を $E$、$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $F$ とし、$BE$ と $CF$ の交点を $H$ とします。四角形 $AFHE$ では $\angle AFH=\angle AEH=90^{\circ }$ が向かい合っていて、その和は $180^{\circ }$ です。よってこの四角形は円に内接します。また $\angle BEC=\angle BFC=90^{\circ }$ で、$E,F$ は直線 $BC$ の同じ側にあります。円周角の定理の逆より、$B,C,E,F$ は $BC$ を直径とする円周上にあります。3 本目の垂線も $H$ を通ることを示します。直線 $AH$ と $BC$ の交点を $D$ とします。円 $AFHE$ で弧 $HE$ に対する円周角から $\angle HAE=\angle HFE$ です。円 $BCEF$ で弧 $CE$ に対する円周角から $\angle CFE=\angle CBE$ です。$H$ は線分 $FC$ 上にあるので $\angle HFE=\angle CFE$ となり、$\angle DAC=\angle EBC$ がわかります。直角三角形 $BEC$ では $\angle EBC+\angle C=90^{\circ }$ です。よって三角形 $ADC$ でも $\angle DAC+\angle C=90^{\circ }$ となり、$\angle ADC=90^{\circ }$ です。つまり $AD\perp BC$ で、$A$ からの垂線も $H$ を通ります。さらに、内接四角形 $AFHE$ の対角の和から $\angle FHE=180^{\circ }-\angle A$ です。$\angle BHC$ はその対頂角なので、$\angle BHC=180^{\circ }-\angle A$ となります。

【直角・鈍角の場合】$\angle A=90^{\circ }$ のとき、$B$ からの垂線は直線 $BA$、$C$ からの垂線は直線 $CA$ です。$A$ からの垂線も $A$ を通るので、3 本は $A$ で交わり、$H=A$ となります。$\angle A$ が鈍角のときは、$E$ は $CA$ の $A$ 側の延長上に、$F$ は $BA$ の $A$ 側の延長上にきます。直角三角形 $BEC$、$CFB$ から $\angle HBC=90^{\circ }-\angle C$、$\angle HCB=90^{\circ }-\angle B$ で、どちらも鋭角です。また $\angle BHC=180^{\circ }-(\angle HBC+\angle HCB)=\angle B+\angle C=180^{\circ }-\angle A$ も鋭角なので、三角形 $HBC$ は鋭角三角形です。この三角形 $HBC$ で、$B$ を通り $CH$（直線 $CF$）に垂直な直線は $BA$ です。$C$ を通り $BH$（直線 $BE$）に垂直な直線は $CA$ です。つまり $A$ は三角形 $HBC$ の 2 本の垂線の交点です。鋭角三角形の場合の結果を三角形 $HBC$ に使うと $HA\perp BC$ となり、三角形 $ABC$ の 3 本の垂線は $H$ で交わります。$\angle B$ や $\angle C$ が鈍角のときも、頂点の名前を入れかえれば同じように示せます。

【$\angle B$ が鈍角のとき $\angle BHC=\angle A$ になる理由】このとき $H$ は $B$ の外側にあります。直線 $HE$ 上には $H,B,E$ がこの順に並び、$F$ は線分 $CH$ 上にきます。直角三角形 $AFC$（$\angle AFC=90^{\circ }$）では $\angle FCA=90^{\circ }-\angle A$ です。直角三角形 $HEC$（$\angle HEC=90^{\circ }$）では $\angle EHC=90^{\circ }-\angle HCE=90^{\circ }-\angle FCA=\angle A$ です。よって $\angle BHC=\angle EHC=\angle A$ となります。たとえば $A(0,0)$, $B(1,1)$, $C(4,0)$ のとき $H(1,3)$ で、$\angle A=\angle BHC=45^{\circ }$ です。このように公式は $H$ の位置によって変わるので、必ず図で確かめます。