図形の性質の問題

手順 1：$\angle \mathrm{A}$ を求める。
三角形の内角の和は $180^{\circ }$ なので
$$\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ }-70^{\circ }-45^{\circ }=65^{\circ }$$

手順 2：垂線の足がつくる四角形が円に内接することを確かめる。
四角形 $\mathrm{AFHE}$ を考える。$\mathrm{CF}\perp \mathrm{AB}$、$\mathrm{BE}\perp \mathrm{CA}$ なので
$$\angle \mathrm{AFH}=90^{\circ },\angle \mathrm{AEH}=90^{\circ }$$
よって $\angle \mathrm{AFH}+\angle \mathrm{AEH}=180^{\circ }$ となり、対角の和が $180^{\circ }$ だから、四角形 $\mathrm{AFHE}$ は円に内接する。

手順 3：内接四角形の性質で $\angle \mathrm{FHE}$ を求める。
円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ }$ なので
$$\angle \mathrm{FHE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{FAE}=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$$

手順 4：対頂角で $\angle \mathrm{BHC}$ に移す。
$\mathrm{B},\mathrm{H},\mathrm{E}$ は一直線上にあり、$\mathrm{C},\mathrm{H},\mathrm{F}$ も一直線上にあって、$\mathrm{H}$ はそれぞれの間にある。よって $\angle \mathrm{BHC}$ と $\angle \mathrm{FHE}$ は対頂角で等しいから
$$\angle \mathrm{BHC}=\angle \mathrm{FHE}=115^{\circ }$$

（このように、鋭角三角形では一般に $\angle \mathrm{BHC}=180^{\circ }-\angle \mathrm{A}$ が成り立つ。）

答え：$115^{\circ }$

三角形 ABC の内角の和より $\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ }-70^{\circ }-45^{\circ }=65^{\circ }$。鋭角三角形なので垂心 H は三角形の内部にある。\n\n四角形 AFHE において、$\angle \mathrm{AFH}=\angle \mathrm{AEH}=90^{\circ }$ なので、$\angle \mathrm{FHE}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$。\n\n$\angle \mathrm{BHC}$ は $\angle \mathrm{FHE}$ の対頂角なので $115^{\circ }$。\n\n別解（検算）：直角三角形 BFC で $\angle \mathrm{FBC}=70^{\circ }$ より $\angle \mathrm{FCB}=20^{\circ }$。直角三角形 BEC で $\angle \mathrm{ECB}=45^{\circ }$ より $\angle \mathrm{EBC}=45^{\circ }$。三角形 HBC で $\angle \mathrm{HBC}=45^{\circ }$、$\angle \mathrm{HCB}=20^{\circ }$ なので $\angle \mathrm{BHC}=180^{\circ }-45^{\circ }-20^{\circ }=115^{\circ }$。一致する。