図形の性質の問題

$\mathrm{H}$ は 2 本の垂線 $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ の交点なので、$△\mathrm{ABC}$ の垂心です。

手順 1：円に内接する四角形を見つける

$\mathrm{BE}\perp \mathrm{CA}$, $\mathrm{CF}\perp \mathrm{AB}$ より
$$\angle \mathrm{AFH}=90^{\circ },\angle \mathrm{AEH}=90^{\circ }$$
です。四角形 $\mathrm{AFHE}$ において、向かい合う角 $\angle \mathrm{AFH}$ と $\angle \mathrm{AEH}$ の和は
$$90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$$
となります。対角の和が $180^{\circ }$ なので、四角形 $\mathrm{AFHE}$ は円に内接します。

手順 2：対角の和から $\angle \mathrm{FHE}$ を求める

円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ }$ なので、もう一組の対角 $\angle \mathrm{FAE}$ と $\angle \mathrm{FHE}$ についても
$$\angle \mathrm{FHE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{FAE}=180^{\circ }-56^{\circ }=124^{\circ }$$
が成り立ちます。

手順 3：対頂角で $\angle \mathrm{BHC}$ に移す

$\mathrm{B},\mathrm{H},\mathrm{E}$ は一直線上、$\mathrm{C},\mathrm{H},\mathrm{F}$ も一直線上にあり、$\mathrm{H}$ はそれぞれ線分 $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ の内部にあります。よって $\angle \mathrm{BHC}$ と $\angle \mathrm{EHF}$ は対頂角で、
$$\angle \mathrm{BHC}=\angle \mathrm{FHE}=124^{\circ }$$
です。

これは垂心の性質 $\angle \mathrm{BHC}=180^{\circ }-\angle \mathrm{A}$ そのものです。

答え：$124^{\circ }$

四角形 AFHE において、$\angle \mathrm{AFH}=90^{\circ }$、$\angle \mathrm{AEH}=90^{\circ }$ であり、$\angle \mathrm{FAE}=56^{\circ }$ である。四角形の内角の和は $360^{\circ }$ なので、$\angle \mathrm{FHE}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-56^{\circ }=124^{\circ }$。$\angle \mathrm{BHC}$ と $\angle \mathrm{FHE}$ は対頂角（H は BE 上かつ CF 上で、H は B と E の間、C と F の間にある）なので等しく、$\angle \mathrm{BHC}=124^{\circ }$。
検算：$180^{\circ }-56^{\circ }=124^{\circ }$ であり、$\angle \mathrm{HBC}=90^{\circ }-\angle \mathrm{C}$、$\angle \mathrm{HCB}=90^{\circ }-\angle \mathrm{B}$ から $\angle \mathrm{BHC}=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C})=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=124^{\circ }$ となり一致する。