図形の性質の問題

垂線の足 $\mathrm{E},\mathrm{F}$ と頂点 $\mathrm{A}$、垂心 $\mathrm{H}$ がつくる四角形 $\mathrm{AFHE}$ に注目する。

$\mathrm{CF}\perp \mathrm{AB}$ より $\angle \mathrm{AFH}=90^{\circ }$、$\mathrm{BE}\perp \mathrm{CA}$ より $\angle \mathrm{AEH}=90^{\circ }$ である。

$$\angle \mathrm{AFH}+\angle \mathrm{AEH}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$$

と対角の和が $180^{\circ }$ なので、四角形 $\mathrm{AFHE}$ は円に内接する（$\mathrm{AH}$ を直径とする円）。円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ }$ だから、

$$\angle \mathrm{FHE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{FAE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }$$

（四角形の内角の和 $360^{\circ }$ から $\angle \mathrm{FHE}=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }$ と求めてもよい。）

点 $\mathrm{H}$ は線分 $\mathrm{BE}$ と線分 $\mathrm{CF}$ の交点なので、$\angle \mathrm{BHC}$ と $\angle \mathrm{FHE}$ は対頂角であり、等しい。よって

$$\angle \mathrm{BHC}=\angle \mathrm{FHE}=116^{\circ }$$

（一般に、鋭角三角形では $\angle \mathrm{BHC}=180^{\circ }-\angle \mathrm{A}$ が成り立つ。）

答え: $116$

垂心 H について、四角形 AEHF では ∠AEH = ∠AFH = 90° なので、∠EHF = 180° − ∠A = 180° − 64° = 116° となる。対頂角は等しいので ∠BHC = ∠EHF = 116° である。

検算：∠B = 60°, ∠C = 56° の鋭角三角形を考える。△BHC で、∠HBC = 90° − ∠C = 34°、∠HCB = 90° − ∠B = 30° なので、∠BHC = 180° − 34° − 30° = 116° となり、一致する。