この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

図形の性質の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学A 図形の性質

円 $O$ に $△ ABC$ が内接しており、 $∠ BAC = 4 8^{\circ}$ 、 $∠ ACB = 6 0^{\circ}$ である。点 $A$ における円 $O$ の接線上に、直線 $AC$ に関して点 $B$ と反対側にある点 $T$ をとる。 $∠ TAC$ の大きさは何度か。度を単位として数値で答えよ。

O

A

B

C

T

4 8^{\circ}

6 0^{\circ}

この問題で使うもの

接弦定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

接線 $AT$ と弦 $AC$ のつくる角なので、接弦定理を使います。

ヒント 2

$∠ TAC$ の内部にあるのは点 $B$ を含まない弧 $AC$ です。この弧に対する円周角は $∠ ABC$ なので、 $∠ TAC = ∠ ABC$ です。

ヒント 3

$△ ABC$ の内角の和から $∠ ABC = 18 0^{\circ} - 4 8^{\circ} - 6 0^{\circ}$ を計算しましょう。

答えと解説

答えを見る

72

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

接弦定理: 円の接線と、接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。

手順 1（どの弧に対する円周角かを確認する）
$∠ TAC$ は、接線 $AT$ と、接点 $A$ を通る弦 $AC$ のつくる角である。点 $T$ は直線 $AC$ に関して点 $B$ と反対側にあるので、この角の内部にある弧は、点 $B$ を含まない方の弧 $AC$ である。

この弧 $AC$ に対する円周角は、弧の外側の円周上の点 $B$ から見た角 $∠ ABC$ である。よって接弦定理より
$∠ TAC = ∠ ABC$

手順 2（ $∠ ABC$ を求める）
$△ ABC$ の内角の和は $18 0^{\circ}$ なので
$∠ ABC = 18 0^{\circ} - 4 8^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 2^{\circ}$

手順 3（結論）
$∠ TAC = ∠ ABC = 7 2^{\circ}$

したがって、答えは $72$ （度）である。

別解

△ABC の内角の和より $∠ ABC = 18 0^{\circ} - 4 8^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 2^{\circ}$ 。
点 T は直線 AC に関して点 B と反対側にあるので、 $∠ TAC$ は弦 AC と接線のなす角で、その内側にある弧 AC に対する円周角は点 B における $∠ ABC$ である。接弦定理より $∠ TAC = ∠ ABC = 7 2^{\circ}$ 。
検算：接線と半径 OA は垂直。中心角 $∠ AOC = 2∠ ABC = 14 4^{\circ}$ で、三角形 OAC は二等辺なので $∠ OAC = 1 8^{\circ}$ 。よって $∠ TAC = 9 0^{\circ} - 1 8^{\circ} = 7 2^{\circ}$ となり一致する。

図形の性質の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題