接弦定理

点 $A$ で円 $O$ に接する直線を $AT$、接点 $A$ を通る弦を $AB$ とし、$\angle TAB=\theta$ とします。$\angle TAB$ の内部にある弧 $AB$ を弧 $X$、残りの弧 $AB$ を弧 $Y$ と呼びます。示したいのは、弧 $Y$ 上の点 $C$ に対して $\angle ACB=\theta$ となることです（$\angle ACB$ は弧 $X$ に対する円周角です）。

【$\theta$ が鋭角のとき】中学で学んだとおり、接線は接点を通る半径に垂直なので $\angle OAT=90^{\circ }$ です。$\theta <90^{\circ }$ なので、弦 $AB$ は $\angle OAT$ の内部にあります。よって $\angle OAB=\angle OAT-\angle TAB=90^{\circ }-\theta$ です。$OA=OB$ より三角形 $OAB$ は二等辺三角形なので $\angle OBA=90^{\circ }-\theta$、したがって $\angle AOB=180^{\circ }-2(90^{\circ }-\theta )=2\theta$ です。この $\angle AOB$（$180^{\circ }$ より小さい）は、$\angle TAB$ の内部にある弧 $X$ に対する中心角です。円周角の定理より、弧 $X$ に対する円周角は中心角の半分なので $\angle ACB=\theta$ です。
【$\theta =90^{\circ }$ のとき】$\angle TAB=\angle TAO=90^{\circ }$ なので弦 $AB$ は $O$ を通り、直径です。直径に対する円周角は $90^{\circ }$ なので $\angle ACB=90^{\circ }=\theta$ です。

【$\theta$ が鈍角のとき】まず準備として「円に内接する四角形の向かい合う角の和は $180^{\circ }$」を示します。円周上に $A,C,B,D$ がこの順に並ぶ四角形 $ACBD$ で、対角線 $CD$ を引くと、$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB$ です。同じ弧 $AD$ に対する円周角なので $\angle ACD=\angle ABD$、同じ弧 $DB$ に対する円周角なので $\angle DCB=\angle DAB$ です。よって三角形 $ABD$ の内角の和から $\angle ACB=\angle ABD+\angle DAB=180^{\circ }-\angle ADB$、つまり $\angle ACB+\angle ADB=180^{\circ }$ です。
次に、接線上で $A$ をはさんで $T$ と反対側に点 $S$ をとると、$\angle SAB=180^{\circ }-\theta$ は鋭角です。$\angle SAB$ の内部にある弧は弧 $Y$ なので、鋭角の場合の結果を使うと、弧 $Y$ に対する円周角、つまり弧 $X$ 上の点 $D$ から見た $\angle ADB$ について $\angle ADB=\angle SAB=180^{\circ }-\theta$ です。四角形 $ACBD$ は円に内接するので、$\angle ACB=180^{\circ }-\angle ADB=180^{\circ }-(180^{\circ }-\theta )=\theta$ となります。

以上から、どの場合も「接線と弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい」が成り立ちます。直観的には、円周上の点 $C$ を円周に沿って $A$ に近づけると直線 $CA$ は接線に近づいていき、その間も円周角 $\angle ACB$ の大きさは変わらない、というイメージです。