円の外部にある点 を通る 2 本の直線がある。1 本は円と 2 点 , で交わり、, , はこの順に並んでいる。もう 1 本は円と 2 点 , で交わり、, , はこの順に並んでいる。, , のとき、弦 の長さを求めよ。
方べきの定理
（2 直線が円と交わるとき）や （接線のとき）を使い、弦や割線・接線の長さを求められる
前提
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説明
方べきの定理を使うと、円と交わる 2 本の直線の交点 から交点までの長さについて、等式 が成り立ちます。直線の一方が接線のときは です。弦の一部の長さ、割線の長さ、接線の長さのうち一部が分かっていれば、残りを掛け算の等式から求められます。 が円の内部にあっても外部にあっても使えます。
なぜそうしてよいのか
この定理は、相似な三角形の辺の比を言い換えたものです。まず が円の内部にあり、弦 と弦 が で交わる場合を考えます。 と で、（対頂角）です。また と はどちらも弧 に対する円周角なので、円周角の定理より です。よって 2 つの三角形は相似です。対応する辺の比から 、つまり が得られます。
次に が円の外部にあり、 を通る 2 直線が円と および で交わる場合です（ が に近い側）。 と では が共通です。さらに と は、どちらも に近い側の弧 に対する円周角なので等しくなります。よって です。比 から、やはり が成り立ちます。
最後に、一方の直線が点 で円に接する場合です。 と では が共通です。接弦定理より、接線と弦 のつくる角 は弧 に対する円周角 に等しくなります。よって です。比 から となります。これは、2 つの交点 が 1 点 に重なった場合とみなせます。
手順
2 直線の交点 と、各直線が円と交わる点（接線なら接点 ）を確認する。
各交点について、 からの長さ（, など）を求める。 が円の外部にあるときは、遠い方の点までの長さを のように足して求める。
2 本とも円と 2 点で交わるなら 、一方が接線なら という式を立てる。
式を解いて、求める長さを出す。長さは正なので、2 乗を外すときは正の値をとる。
例題
円の外部の点 から円に接線を引き、接点を とする。また、 を通る直線が円と 2 点 , で交わり、, , はこの順に並んでいる。、 のとき、接線の長さ を求めよ。
例題の解答
手順 1: 交点 は円の外部にあり、一方の直線は で接し、もう一方は , で円と交わる。
手順 2: からの長さは 、 である。
手順 3: 一方が接線なので となる。
手順 4: なので である。
答え:
よくある誤り
割線で、 から遠い交点までの長さの代わりに弦の長さを使ってしまう誤り。例題では としてはいけない。正しくは である。
接線の場合に 2 乗を忘れ、 としてしまう誤り。正しくは である。例題では ではなく になる。
が円の内部にあるとき、同じ弦の両側の長さをペアにせず、 のように組み合わせてしまう誤り。正しくは、同じ直線上の 2 つの長さを掛けて とする（, がそれぞれ 1 本の弦）。
2 乗を外すときに負の値も答えに含め、 としてしまう誤り。正しくは、長さは正なので だけが答えである。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
円と、その円の外部にある点 がある。 を通る直線が円と 2 点 , で交わり、 を通る別の直線が円と 2 点 , で交わっている。, , はこの順に、, , はこの順に並んでいる。, , のとき、弦 の長さを求めよ。
円の外部に点 がある。 を通る 2 本の直線のうち、一方は円と 2 点 , で交わり、もう一方は円と 2 点 , で交わる。, , はこの順に、, , はこの順に並んでいる。, , のとき、弦 の長さを求めよ。
この技能を使う問題
中心 、半径 の円があり、円の外部の点 は を満たす。 から円に引いた接線の接点の 1 つを とする。また、 を通る直線が円と 2 点 , で交わり、, , はこの順に並んでいて、 である。このとき、中心 と直線 の距離を求めよ。
円 の外部に点 があり， である。点 から円 に引いた接線の接点の 1 つを とする。また，点 を通る直線が円 と 2 点 , で交わり，, である（点 は線分 上にある）。円 の半径を求めよ。
円に内接する四角形 があり、対角線 と の交点を とする。、、 であり、 であるとき、辺 の長さを求めよ。
において、, , とする。点 で直線 に接し、点 を通る円を とする。直線 と円 の交点のうち、 と異なる点を とする。線分 の長さを求めよ。
円 の外部にある点 から円 に接線を引き、その接点を とする。また、 を通る直線が円 と 点 , で交わり、, , はこの順に並んでいる。
, , のとき、円 の半径を求めよ。
円 （中心も で表す）に内接する四角形 がある。辺 を の側に延長した半直線と、辺 を の側に延長した半直線が点 で交わり、
である。このとき、線分 の長さを求めよ。243中心 、半径 の円 と、中心 、半径 の円 があり、 である。 と は 2 点で交わる。 と の共通外接線の 1 本を とし、 が に接する点を 、 に接する点を とする。 と の 2 つの交点のうち、直線 に近い方を 、遠い方を とし、直線 と直線 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
平面上に、中心 、半径 の円 と、中心 、半径 の円 がある。 とする。2 円の共通外接線の 1 本を とし、 と の接点を 、 と の接点を とする。2 円 , の 2 つの交点のうち、直線 に近い方を とするとき、点 と直線 の距離を求めよ。
が鈍角である において、頂点 から、それぞれ直線 に下ろした垂線の足を とする（3 本の垂線を含む直線は の垂心で交わる）。 が と相似であるとき、 の大きさを弧度法で求めよ。
が鈍角の三角形の一例（相似の条件は満たしていない） 円 （中心も で表す）に内接する四角形 があり、頂点 , , , はこの順に円周上に並んでいる。対角線 と は点 で垂直に交わり、
である。点 を通り直線 に垂直な直線が辺 と交わる点を とする。三角形 の面積を求めよ。中心 、半径 の円 と、中心 、半径 の円 があり、 は に点 で内接している。 の弦 が点 で に接していて、 である。このとき、弦 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の内接円と辺 の接点を とする。点 を通り、点 で直線 に接する円を とする。 と辺 の 以外の交点を 、 と辺 の 以外の交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の内接円を 、外接円を とし、 と辺 の接点を とする。直線 が と交わる 以外の点を 、直線 が と交わる 以外の点を とする。点 から に引いた接線の、 から接点までの長さを求めよ。