図形の性質の問題

接線の長さ 接線は接点を通る半径に垂直なので $\angle \mathrm{OTP}=90^{\circ }$ である。三平方の定理より
$$\mathrm{PT}=\sqrt{{\mathrm{OP}}^2-{\mathrm{OT}}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$

方べきの定理 $\mathrm{PA}:\mathrm{AB}=9:7$ より、正の数 $k$ を用いて $\mathrm{PA}=9k$, $\mathrm{AB}=7k$ と表せる。$\mathrm{P}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ はこの順に並ぶので $\mathrm{PB}=\mathrm{PA}+\mathrm{AB}=16k$ である。方べきの定理より $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}={\mathrm{PT}}^2$ なので
$$9k\cdot 16k=144\text{すなわち}144k^2=144$$
$k>0$ より $k=1$ である。よって $\mathrm{PA}=9$, $\mathrm{AB}=7$ となる。

中心と直線の距離 弦 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、$\mathrm{OM}\perp \mathrm{AB}$ であり、$\mathrm{OM}$ が求める距離である。$\mathrm{AM}=\frac{7}{2}$ なので、直角三角形 $\mathrm{OAM}$ で三平方の定理より
$$\mathrm{OM}=\sqrt{5^2-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2}=\sqrt{25-\frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{51}{4}}=\frac{\sqrt{51}}{2}$$

検算 $\mathrm{PM}=9+\frac{7}{2}=\frac{25}{2}$ である。直角三角形 $\mathrm{OPM}$ で
$${\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{OM}}^2=\frac{625}{4}+\frac{51}{4}=169={\mathrm{OP}}^2$$
となり、条件と矛盾しない。

したがって、求める距離は $\frac{\sqrt{51}}{2}$ である。

接線の長さは $P{T}^2=13^2-5^2=144$ より $PT=12$。方べきの定理より $PA\cdot PB=P{T}^2=144$。$PA=9k$, $AB=7k$ とおくと $PB=16k$ なので $9k\cdot 16k=144k^2=144$、よって $k=1$。ゆえに $PA=9$, $AB=7$, $PB=16$。

AB の中点を M とすると OM ⊥ AB で、$AM=7/2$、$PM=9+7/2=25/2$。$△OPM$ で $O{M}^2=O{P}^2-P{M}^2=169-625/4=(676-625)/4=51/4$。よって $OM=\sqrt{51}/2$。

検算：$△OAM$ で $O{M}^2=O{A}^2-A{M}^2=25-49/4=51/4$。一致する。