図形の性質の問題

接線の長さ $PT$ を求める

$PB=PA+AB=4+5=9$ である。方べきの定理より
$$P{T}^2=PA\cdot PB=4\cdot 9=36$$
$PT>0$ なので $PT=6$ である。

$TB$ を求める

$△PTA$ と $△PBT$ について、$\angle P$ は共通である。また $P{T}^2=PA\cdot PB$ より
$$\frac{PT}{PA}=\frac{PB}{PT}\left(=\frac{3}{2}\right)$$
が成り立つ。$2$ 辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、$△PTA\sim △PBT$ である（接弦定理より $\angle PTA=\angle TBA$ であることからも分かる）。

対応する辺の比から
$$\frac{TA}{BT}=\frac{PT}{PB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
となる。したがって $BT=\frac{3}{2}TA=\frac{3}{2}\cdot 4=6$ である。

$△TAB$ の外接円の半径を求める

円 $O$ は $3$ 点 $T$, $A$, $B$ を通るので、$△TAB$ の外接円である。$△TAB$ の $3$ 辺は $TA=4$, $TB=6$, $AB=5$ である。

余弦定理より
$$\cos \angle ATB=\frac{T{A}^2+T{B}^2-A{B}^2}{2\cdot TA\cdot TB}=\frac{16+36-25}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$$
となる。$0<\angle ATB<\pi$ より $\sin \angle ATB>0$ なので
$$\sin \angle ATB=\sqrt{1-\frac{81}{256}}=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$$
である。

求める半径を $R$ とすると、正弦定理より
$$2R=\frac{AB}{\sin \angle ATB}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\frac{16}{\sqrt{7}}$$
となる。よって
$$R=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$$
である。

方べきの定理より $P{T}^2=PA\cdot PB=4\cdot 9=36$ なので $PT=6$。

$△PTA$ と $△PBT$ を比べると、$\angle P$ が共通で、接線と弦の角の定理より $\angle PTA=\angle PBT$。よって相似であり、$PT/PB=TA/BT=6/9=2/3$。したがって $BT=TA\cdot \frac{3}{2}=6$。

円 $O$ は $△TAB$ の外接円で、辺の長さは $TA=4$, $AB=5$, $BT=6$。
$s=\frac{15}{2}$ として、ヘロンの公式より
$S=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$。

外接円の半径は $R=\frac{abc}{4S}=\frac{120}{15\sqrt{7}}=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$。

検算：余弦定理より、$AB$ の対角 $\angle T$ について $\cos T=\frac{16+36-25}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$。$\sin T=\frac{\sqrt{256-81}}{16}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$。$2R=\frac{5}{\sin T}=\frac{16}{\sqrt{7}}$ なので $R=\frac{8}{\sqrt{7}}$。一致する。