において、, , である。辺 の長さを求めよ。
正弦定理・余弦定理と三角形の面積
正弦定理・余弦定理で三角形の辺と角を求め、 で面積、内接円・外接円の半径を求められる
前提
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
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- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
- 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三角比の定義と値 （数学I 図形と計量）
説明
三角形の辺の長さや角の大きさのうちいくつかがわかっているとき、残りの辺や角を計算で求められるようになります。直角三角形でなくても使えるのが特長です。さらに、2辺とその間の角から面積を求めたり、外接円・内接円の半径を求めたりできます。測量や図形の計量など、三角形が出てくる場面で広く使います。
なぜそうしてよいのか
以下、 で とし、角 の大きさも同じ文字で表します。
【余弦定理と面積】 を原点、 を 軸上の点 におき、 を上側にとります。単位円による三角比の定義から、 の座標は です（ が鈍角でもこの式で成り立ちます）。三平方の定理で を計算すると となり、 より です。また の高さは （）なので、底辺 と合わせて面積は です。
【正弦定理】3頂点を通る円（外接円）の中心を 、半径を とし、 を通る直径 を引きます。 となるのは が直径のときで、このとき円周角の定理より 、 です。 のとき、直線 と円の共有点は だけなので は直線 上になく、半円の弧に対する円周角として です。次に を調べます。弦 で円は2つの弧に分かれ、2つの弧の中心角の和は です。円周角の定理より、円周角はその頂点を含まない側の弧の中心角の半分なので、 を含まない側の弧の中心角を とすると 。 が と同じ側の弧上にあれば 、反対側の弧上にあれば を含まない弧の中心角は なので です。どちらでも より 。直角三角形 で なので 。他の角でも同様にして が成り立ちます。
どちらの側になるかも決まります。 は の直角三角形なので は鋭角です。よって が と同じ側なら は鋭角、反対側なら は鈍角です。また は の中点で は直線 上にあるので、 と は直線 に関して同じ側にあります。まとめると、 が鋭角なら は と同じ側、 なら は辺 の中点、 が鈍角なら は と反対側です。
【内接円】内接円とは、三角形の3辺すべてに接する円です。中心を 、半径を とします。円の接線は接点を通る半径に垂直なので、 から各辺の接点に引いた半径は辺に垂直で、長さ は の、底辺をそれぞれ としたときの高さになります。 はこの3つに分けられるので です。
手順
わかっている量を確認し、使う定理を選ぶ。2辺とその間の角、または3辺がわかる → 余弦定理。1辺とその向かいの角の組がわかる、または外接円の半径を求める → 正弦定理
正弦定理を使うとき： のうち必要な2つを等号で結んで解く。角を求めるときは、 で同じ の値をもつ角が2つありうるので、角の和が 未満になるかで確かめる
余弦定理を使うとき：辺を求めるなら 、角を求めるなら を使う（辺は の方をとる）
面積を求めるとき：2辺とその間の角で （、 も同じ）
内接円の半径を求めるとき：面積 を先に求め、 とする
例題
において、、、 のとき、辺 の長さを求めよ。
例題の解答
手順1：わかっているのは2辺 とその間の角 なので、余弦定理を使う。
手順3： より
なので 。
答え:
よくある誤り
が負のときの符号を誤り、 で としてしまう誤り。正しくは なので
正弦定理で から だけを答えてしまう誤り。正しくは では の2つが候補で、他の角との和が 未満になるかを調べて決める
正弦定理を と覚えてしまう誤り。正しくは （直径）で、
面積で間の角でない角を使い、 としてしまう誤り。正しくは辺 に挟まれた角は なので
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
において、, , である。辺 の長さを求めよ。
において、、、 である。辺 の長さを求めよ。
図は正確とは限りません において、, , である。辺 の長さを求めよ。
において、, , である。辺 の長さを求めよ。
図は正確とは限りません
この技能を使う問題
において、, , とする。 の外接円の半径 を求めよ。
875において、, , である。 の外接円の半径を 、内接円の半径を とするとき、 の値を求めよ。
において、
が成り立ち、 の面積は である。 の外接円の半径 を求めよ。において、, , とする。 の内心を とし、直線 と辺 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の内心を とし、直線 と辺 の交点を とする。線分 の長さを求めよ。
において、, , である。辺 の長さとして考えられる値をすべて求めよ。
において，，， である。 の外接円の半径を ，内接円の半径を とするとき， の値を求めよ。
四面体 において、
であるとする。頂点 から平面 に下ろした垂線の長さを求めよ。777587四面体 において、, , , である。この四面体の体積 を求めよ。
四面体 において、, , , である。この四面体の体積 を求めよ。
三角形 において、、、 である。三角形 の外接円の半径を 、内接円の半径を とするとき、 の値を求めよ。
において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を とする。辺 上に となる点 をとり、線分 と線分 の交点を とする。 の面積を求めよ。
において、, , とする。点 で直線 に接し、点 を通る円を とする。直線 と円 の交点のうち、 と異なる点を とする。線分 の長さを求めよ。
円 の外部にある点 から円 に接線を引き、その接点を とする。また、 を通る直線が円 と 点 , で交わり、, , はこの順に並んでいる。
, , のとき、円 の半径を求めよ。
一辺の長さが の立方体 がある。ただし、四角形 と四角形 は向かい合う面であり、辺 , , , は互いに平行である。辺 の中点を とする。頂点 から 3 点 , , を通る平面に下ろした垂線の長さを求めよ。
において、, , である。 の外接円の半径を 、内接円の半径を とするとき、 の値を求めよ。
において、, とする。 の二等分線と辺 の交点を とすると、 であった。 の外接円の半径 を求めよ。
53において、 であり、外接円の半径は 、内接円の半径は である。 の面積 を求めよ。
図は正確とは限りません において、, , とする。 の外心を 、内心を 、垂心を とする。 の面積を求めよ。
点 O, I, H の付近は見やすさのため点の印だけを示す 円 （中心も で表す）に内接する四角形 がある。辺 を の側に延長した半直線と、辺 を の側に延長した半直線が点 で交わり、
である。このとき、線分 の長さを求めよ。243において、, , である。 の内部の点 が
を満たすとき、 の値を求めよ。四面体 において、
であるとする。頂点 から平面 までの距離を求めよ。777587三角形 において、 であり、外接円の半径は 、内接円の半径は である。 の二等分線と辺 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
7において , とする。 の二等分線と辺 の交点を とすると、 であった。このとき、 の外接円の半径を求めよ。
三角形 において、, , とする。 の二等分線と三角形 の外接円との交点のうち、 でない方を とする。線分 の長さを求めよ。
三角形 において、, , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。三角形 の面積を求めよ。
図の縮尺は正確ではありません 三角形 において、, , とする。三角形 の外心を 、内心を 、垂心を とするとき、三角形 の面積を求めよ。
円に内接する四角形 があり、
である。対角線 と の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。において , , とする。 の二等分線と辺 の交点を 、 の二等分線と辺 の交点を とする。直線 と直線 の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の外心を 、内心を 、垂心を とするとき、 の面積を求めよ。
円に内接する四角形 において、, , である。対角線 と の交点を とするとき、線分 の長さを求めよ。
において、 とする。 の外接円の半径は 、内接円の半径は である。頂点 から辺 に下ろした垂線の長さを求めよ。
四面体 において、 である。頂点 から平面 に下ろした垂線の長さを求めよ。
において、, とする。辺 の中点を とすると、 であった。 の外接円の半径 を求めよ。
である二等辺三角形 において、外接円の半径が 、内接円の半径が である。辺 の長さとしてありうる値をすべて求めよ。
四面体 において、 である。この四面体の 4 つの面すべてに接する球（内接球）の半径を求めよ。
円に内接する四角形 において、 である。対角線 の長さを求めよ。
において、, とする。 の外心を 、内心を とすると、 と は一致せず、直線 は辺 と平行である。このとき、線分 の長さを求めよ。
中心 、半径 の円 と、中心 、半径 の円 があり、 は に点 で内接している。 の弦 が点 で に接していて、 である。このとき、弦 の長さを求めよ。
において、, , とする。 の内接円を 、外接円を とし、 と辺 の接点を とする。直線 が と交わる 以外の点を 、直線 が と交わる 以外の点を とする。点 から に引いた接線の、 から接点までの長さを求めよ。
この技能の次に学べること
- 極座標 （数学C 平面上の曲線）
- 焦点からの距離と三角形 （数学C 平面上の曲線）
- 面積の分割と角の二等分線の長さ （数学I 図形と計量）
- 四面体の高さと体積 （数学I 図形と計量）
- 辺の比と三角形の面積比 （数学A 図形の性質）
- 重心と外心 （数学A 図形の性質）
- 非相対論的な核反応の運動学 （大学物理 原子核・素粒子）