図形と計量の問題

$a=\mathrm{BC}$, $b=\mathrm{CA}$, $c=\mathrm{AB}$ とし、外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$、面積を $S$ とする。

$a$ を求める. 正弦定理より
$$a=2R\sin 120^{\circ }=2\cdot \frac{13\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13.$$

$b+c$ と $bc$ の関係式を作る. $p=b+c$, $q=bc$ とおく。

余弦定理より
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos 120^{\circ }=b^2+c^2+bc=(b+c{)}^2-bc.$$
よって
$$p^2-q=169(1)$$

面積を2通りに表す。まず
$$S=\frac{1}{2}bc\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}q.$$
また $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ であるから
$$S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}(13+p)=\frac{\sqrt{3}}{2}(13+p).$$
この2式を等しいとおいて
$$\frac{\sqrt{3}}{4}q=\frac{\sqrt{3}}{2}(13+p)\text{より}q=2(13+p)=2p+26(2)$$

連立して解く. $(2)$ を $(1)$ に代入すると
$$p^2-2p-26=169,p^2-2p-195=0,(p-15)(p+13)=0.$$
$p>0$ より $p=15$。$(2)$ より $q=56$。

確認として、$b,c$ は $t^2-15t+56=0$ の2解、すなわち $(t-7)(t-8)=0$ より $7$ と $8$ である。これらは正の実数であり、$13<7+8$ を満たすから、このような三角形は確かに存在する。

面積と垂線の長さ. 面積は
$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 56=14\sqrt{3}.$$
求める垂線の長さを $h$ とすると、$S=\frac{1}{2}ah$ より
$$h=\frac{2S}{a}=\frac{28\sqrt{3}}{13}.$$

答え: $\frac{28\sqrt{3}}{13}$

$a=2R\sin 120^{\circ }=2\cdot \frac{13\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13$。$b=\mathrm{CA},c=\mathrm{AB}$ とし、$p=b+c,q=bc$ とおく。
面積は $S=\frac{1}{2}bc\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}q$ であり、$S=rs=\sqrt{3}\cdot \frac{13+p}{2}$ でもある。よって $q=2(13+p)=26+2p$。
余弦定理より $13^2=b^2+c^2+bc=p^2-q$ なので、$169=p^2-26-2p$、すなわち $p^2-2p-195=0$。これより $(p-15)(p+13)=0$、$p>0$ だから $p=15$、$q=56$。
このとき $b,c$ は $7,8$ で、$49+64+56=169$ となり成立する。
$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 56=14\sqrt{3}$。検算として $rs=\sqrt{3}\cdot \frac{28}{2}=14\sqrt{3}$ で一致する。
垂線の長さを $h$ とすると $\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h=14\sqrt{3}$ より $h=\frac{28\sqrt{3}}{13}$。