図形と計量の問題

$\mathrm{AM}=m$, $\mathrm{BM}=\mathrm{CM}=x$ $(m>0,x>0)$ とおき、$\theta =\angle \mathrm{AMB}$ とする。

$△\mathrm{ABM}$ は $\angle \mathrm{BAM}=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$$x^2=16+m^2(1)$$
また $\cos \theta =\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{BM}}=\frac{m}{x}$ である。

点 $\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{BC}$ 上にあるので $\angle \mathrm{AMC}=180^{\circ }-\theta$ であり、$\cos \angle \mathrm{AMC}=-\cos \theta =-\frac{m}{x}$ となる。$△\mathrm{AMC}$ に余弦定理を用いると
$${\mathrm{AC}}^2=m^2+x^2-2mx\cos \angle \mathrm{AMC}=m^2+x^2+2mx\cdot \frac{m}{x}=3m^2+x^2$$
よって
$$36=3m^2+x^2(2)$$
$(1)$ を $(2)$ に代入すると $36=3m^2+16+m^2$ より $4m^2=20$、すなわち $m^2=5$。これを $(1)$ に代入して $x^2=21$ となり、$x=\sqrt{21}$ である。したがって
$$\mathrm{BC}=2x=2\sqrt{21}$$

次に $△\mathrm{ABC}$ で余弦定理を用いると
$$\cos A=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}=\frac{16+36-84}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{-32}{48}=-\frac{2}{3}$$
$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ より $\sin A>0$ なので
$$\sin A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$
正弦定理 $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=2R$ より
$$R=\frac{\mathrm{BC}}{2\sin A}=\frac{2\sqrt{21}}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{105}}{5}$$

(検算) 面積 $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=4\sqrt{5}$ を用いると、$R=\frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}}{4S}=\frac{4\cdot 2\sqrt{21}\cdot 6}{16\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{5}}$ となり一致する。

答え: $R=\frac{3\sqrt{105}}{5}$

$\mathrm{A}$ を原点、$\mathrm{B}=(4,0)$ とおく。$\angle \mathrm{BAM}=90^{\circ }$ より $\mathrm{M}=(0,m)$ $(m>0)$ とおける。

$\mathrm{M}$ は $\mathrm{BC}$ の中点なので $\mathrm{C}=2\mathrm{M}-\mathrm{B}=(-4,2m)$。

$\mathrm{AC}=6$ より $16+4m^2=36$、よって $m^2=5$、$m=\sqrt{5}$。したがって $\mathrm{C}=(-4,2\sqrt{5})$。

$\mathrm{BC}=\sqrt{8^2+(2\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。

$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{4\cdot 6}=\frac{-16}{24}=-\frac{2}{3}$。よって $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

正弦定理より $2R=\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}/3}=\frac{6\sqrt{21}}{\sqrt{5}}$。ゆえに $R=\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{105}}{5}$。

検算：面積 $K=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。$R=\frac{abc}{4K}=\frac{4\cdot 6\cdot 2\sqrt{21}}{16\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{5}}$ となり一致する。