図形と計量の問題

$\mathrm{BC}=a$ とおく。角の二等分線の性質より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:5$ なので
$$\mathrm{BD}=\frac{3a}{8},\mathrm{DC}=\frac{5a}{8}$$
である。$\mathrm{AD}=d$, $\angle \mathrm{ADB}=\theta$ とおくと $\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ }-\theta$ であり、$\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ である。

$△\mathrm{ABD}$ で余弦定理より
$$9=d^2+{\mathrm{BD}}^2-2d\cdot \mathrm{BD}\cos \theta (1)$$
$△\mathrm{ACD}$ で余弦定理より
$$25=d^2+{\mathrm{DC}}^2+2d\cdot \mathrm{DC}\cos \theta (2)$$
$(1)\times \mathrm{DC}+(2)\times \mathrm{BD}$ をつくると $\cos \theta$ の項が消えて
$$9\mathrm{DC}+25\mathrm{BD}=(d^2+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC})(\mathrm{BD}+\mathrm{DC})$$
$\mathrm{BD}+\mathrm{DC}=a$ なので両辺を $a$ で割ると
$$9\cdot \frac{5}{8}+25\cdot \frac{3}{8}=d^2+\frac{3a}{8}\cdot \frac{5a}{8}$$
$$15=d^2+\frac{15a^2}{64}$$
$d=\frac{15}{8}$ を代入すると $15=\frac{225}{64}+\frac{15a^2}{64}$ より $960=225+15a^2$, すなわち $a^2=49$。$a>0$ より $a=7$。

よって $△\mathrm{ABC}$ で余弦定理より
$$\cos A=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$$
なので $A=120^{\circ }$、したがって $\angle \mathrm{BAD}=60^{\circ }$。また $\mathrm{BD}=\frac{21}{8}$。

$△\mathrm{ABD}$ の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より
$$2R=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BAD}}=\frac{21}{8}÷\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{4\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{4}$$
よって $R=\frac{7\sqrt{3}}{8}$。

(確認: $\cos B=\frac{9+49-25}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{11}{14}$, $\sin B=\frac{5\sqrt{3}}{14}$ より $\frac{\mathrm{AD}}{2\sin B}=\frac{15}{8}\cdot \frac{14}{10\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{8}$ と一致する。)

$AB=c=3,AC=b=5$、$\angle A=2\theta$ とおく。角の二等分線の長さの公式（面積の関係 $\frac{1}{2}bc\sin 2\theta =\frac{1}{2}c\cdot AD\sin \theta +\frac{1}{2}b\cdot AD\sin \theta$）より $AD=\frac{2bc\cos \theta }{b+c}=\frac{30\cos \theta }{8}=\frac{15}{4}\cos \theta$。
$AD=\frac{15}{8}$ より $\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\theta =60^{\circ }$ なので、$\angle BAD=\theta =60^{\circ }$、$\angle A=120^{\circ }$。
余弦定理より $B{C}^2=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cos 120^{\circ }=34+15=49$、$BC=7$。角の二等分線の性質より $BD=7\cdot \frac{3}{8}=\frac{21}{8}$。
検算：$△ABD$ で余弦定理より $B{D}^2=9+\frac{225}{64}-2\cdot 3\cdot \frac{15}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{576+225-360}{64}=\frac{441}{64}$ となり、$BD=\frac{21}{8}$ と一致する。
正弦定理より $2R=\frac{BD}{\sin 60^{\circ }}=\frac{21}{8}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{21}{4\sqrt{3}}$。よって $R=\frac{21}{8\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{8}$。