図形と計量の問題

$\mathrm{BC}=a$、$\mathrm{CA}=b$、$\mathrm{AB}=c$ とおきます。条件は $a=13$、$b+c=17$ です。

$bc$ を求める

余弦定理より
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }$$
です。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので
$$169=b^2+c^2-bc=(b+c{)}^2-3bc=289-3bc$$
となります。よって $3bc=120$、すなわち $bc=40$ です。

（このとき $b,c$ は $t^2-17t+40=0$ の 2 解 $\frac{17\pm \sqrt{129}}{2}$ です。これらはともに正の実数で、三角形の成立条件も満たすので、このような三角形は存在します。）

面積 $S$ を求める
$$S=\frac{1}{2}bc\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$

内接円の半径 $r$ を求める

周の長さは $a+b+c=13+17=30$ です。$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ より
$$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot r\cdot 30=15r$$
よって $r=\frac{10\sqrt{3}}{15}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ です。

外接円の半径 $R$ を求める

正弦定理より $\frac{a}{\sin 60^{\circ }}=2R$ です。よって
$$R=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{13}{\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{3}}{3}$$

比を求める
$$\frac{R}{r}=\frac{13\sqrt{3}}{3}÷\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{13}{2}$$

$a=\mathrm{BC}=13$、$b+c=17$、$A=60^{\circ }$ とする。余弦定理より $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }=b^2+c^2-bc=(b+c{)}^2-3bc$。よって $169=289-3bc$ より $bc=40$。

外接円の半径は正弦定理より $R=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{13}{\sqrt{3}}$。

面積は $S=\frac{1}{2}bc\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+17}{2}=15$ なので、$S=rs$ より $r=\frac{10\sqrt{3}}{15}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。

ゆえに $\frac{R}{r}=\frac{13/\sqrt{3}}{2/\sqrt{3}}=\frac{13}{2}$。

検算：$b,c$ は $t^2-17t+40=0$ の解で、判別式は $289-160=129>0$ なので正の実数解が存在する（$b,c=\frac{17\pm \sqrt{129}}{2}$）。これらは三角形の成立条件も満たす（$|b-c|=\sqrt{129}<13<17$）。