2 変数の対称式

実数 $x,y$ が $$x+y=5,xy=3$$ を満たすとき、$x^3+y^3$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ が
$$x+y=5,xy=3$$
を満たすとき、$x^3+y^3$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ が $$x+y=5,xy=3$$ を満たすとき、$x^3+y^3$ の値を求めよ。

正の実数 $x$ が
$$x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{1}{3}}=2$$
を満たすとき、$x+x^{-1}$ の値を求めよ。

$x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2},y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$ のとき、
$$x^4+y^4-x^{3}y-x{y}^3$$
の値を求めよ。

$$x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$$
のとき、$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ が $$x+y=3,xy=-2$$ を満たすとき、$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$$ の値を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の曲線
$$E:y^2=x^3-x+1$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）である。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z=X^3-X{Z}^2+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）とする。$E({\mathbb{F}}_{27})$ の元の個数を求めよ。

$$x=\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}},y=\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$のとき、$x^5+y^5$ の値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{BC}=13$、$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=17$、$\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ }$ である。三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$ とするとき、$\frac{R}{r}$ の値を求めよ。

$1$ より大きい実数 $x,y$ が次の $2$ つの等式を満たしている。
$${\log }_2(xy)=10,{\log }_{x}4+{\log }_{y}4=\frac{20}{21}$$
このとき、${\log }_{x}y+{\log }_{y}x$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ が $x>y$ を満たし、さらに $$x+y=3,x^2+y^2=7$$ を満たすとする。このとき、$x^4-y^4$ の値を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\angle \mathrm{A}=60^{\circ }$ であり、外接円の半径は $\frac{7\sqrt{3}}{3}$、内接円の半径は $\sqrt{3}$ である。$△\mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めよ。

実数 $x,y$ が $x>y>0$ を満たし、さらに
$$x^2+y^2=6,\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=6$$
を満たすとする。このとき、$x^5-y^5$ の値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{BC}=7$ であり、外接円の半径は $\frac{7\sqrt{3}}{3}$、内接円の半径は $\sqrt{3}$ である。$\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とするとき、線分 $\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。

3次方程式 $x^3-3x+1=0$ の3つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。このとき
$$({\alpha }^2+{\beta }^2)({\beta }^2+{\gamma }^2)({\gamma }^2+{\alpha }^2)$$
の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての 2 次方程式
$$x^2-2ax+3a+3=0$$
が虚数解をもつとし、その虚数解の 1 つを $\alpha$ とする。${\alpha }^3$ が純虚数となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ において、$\angle \mathrm{A}=120^{\circ }$ とする。$△\mathrm{ABC}$ の外接円の半径は $\frac{13\sqrt{3}}{3}$、内接円の半径は $\sqrt{3}$ である。頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の長さを求めよ。

$p=\sqrt{4+\sqrt{15}},q=\sqrt{4-\sqrt{15}}$ とする。このとき、$$\frac{p^3+q^3}{p-q}$$ の値を求めよ。

整数 $a,b$ は $1\leqq b\leqq 100$ を満たすとする。$x$ についての 2 次方程式 $$x^2+ax+b=0$$ が虚数解をもち、その虚数解の 1 つを $\alpha$ とするとき、${\alpha }^6$ が実数となるような整数の組 $(a,b)$ の個数を求めよ。