3 変数の対称式

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$ と $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$ を使って、 $x + y + z$ , $x y + y z + z x$ , $x y z$ と 3 変数の対称式の値を互いに求められる（例: $x + y + z = 2$ , $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 8$ , $x y z = - 18$ から $x y + y z + z x = - 9$ を求める）

前提

2 変数の対称式（数学I 数と式）

この技能までの道筋（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）

説明

$x + y + z$ , $x y + y z + z x$ , $x y z$ の値がわかっているとき、 $x, y, z$ を一つずつ求めなくても、 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ や $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ の値を求められるようになります。逆に、 $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ などの値から $x y + y z + z x$ のような基本の式の値を求めることもできます。 $x, y, z$ を入れかえても変わらない式（3 変数の対称式）の値を計算する場面で使います。

なぜそうしてよいのか

1 つ目の式は展開で確かめられます。 $(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x$ なので、 $2 (x y + y z + z x)$ を移項すると $x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$ となります。2 変数の $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ と同じ仕組みで、引く部分が「2 つずつ掛けた積の和」の 2 倍になります。

2 つ目の式は 2 変数の公式から導けます。 $s = x + y$ とおくと $x^{3} + y^{3} = s^{3} - 3 x y s$ なので、 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (s^{3} + z^{3}) - 3 x y (s + z)$ です。 $s^{3} + z^{3} = (s + z) (s^{2} - sz + z^{2})$ と因数分解できるので、 $s + z$ でくくると $(s + z) (s^{2} - sz + z^{2} - 3 x y)$ になります。 $s + z = x + y + z$ 、 $s^{2} - 3 x y = x^{2} + y^{2} - x y$ 、 $- sz = - x z - y z$ なので $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$ が得られます。

$p = x + y + z$ , $q = x y + y z + z x$ , $r = x y z$ とおくと、右側の因数は $(p^{2} - 2 q) - q = p^{2} - 3 q$ なので、 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = p^{2} - 2 q$ 、 $x^{3} + y^{3} + z^{3} = p (p^{2} - 3 q) + 3 r$ と表せます。ここから具体的に次のことがいえます。(1) $p, q$ がわかれば $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ が、 $p, q, r$ がわかれば $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ が求まる。(2) $p$ と $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ がわかれば $q = \frac{p ^{2} - ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} )}{2}$ が求まる。(3) $p, q$ と $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ がわかれば $r = \frac{( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} ) - p ^{3} + 3 pq}{3}$ が求まる。(4) $p, r$ と $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ がわかっているときは、 $- 3 pq = (x^{3} + y^{3} + z^{3}) - 3 r - p^{3}$ を $q$ について解くので $p$ で割ることになり、 $p \neq = 0$ のときに限り $q = \frac{p ^{3} + 3 r - ( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} )}{3 p}$ と求まります。 $p = 0$ のときは式が $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 r$ となって $q$ が消えてしまい、 $q$ は決まりません（たとえば $(x, y, z) = (1, - 1, 0)$ と $(0, 0, 0)$ はどちらも $p = 0$ , $r = 0$ , $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 0$ ですが、 $q$ は $- 1$ と $0$ で異なります）。

手順

$p = x + y + z$ , $q = x y + y z + z x$ , $r = x y z$ とおき、わかっている値と求めたい値を整理する。
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = p^{2} - 2 q$ を使って、 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ を $p, q$ で表す（ $p, q$ がわかっていれば値を出す）。
$x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 r = p {(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - q}$ に、わかっている値や手順 2 の式を代入する。
求めたいものが $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ ならそのまま計算する。 $q$ や $r$ なら、できた方程式を解く。 $p$ で割るときは $p \neq = 0$ を確かめる（ $p = 0$ なら $q$ はこの方法では決まらない）。

例題

$x + y + z = 2$ , $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 8$ , $x y z = - 18$ のとき、 $x y + y z + z x$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1： $p = x + y + z = 2$ , $r = x y z = - 18$ , $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 8$ がわかっていて、求めたいものは $q = x y + y z + z x$ です。
手順 2： $x^{2} + y^{2} + z^{2} = p^{2} - 2 q = 4 - 2 q$ と表せます。
手順 3： $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) {(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x y + y z + z x)}$ に代入すると、 $8 - 3 \cdot (- 18) = 2 {(4 - 2 q) - q}$ 、つまり $62 = 2 (4 - 3 q)$ となります。
手順 4： $p = 2 \neq = 0$ なので両辺を $2$ で割ってよく、 $31 = 4 - 3 q$ です。よって $3 q = - 27$ より $q = - 9$ 、すなわち $x y + y z + z x = - 9$ です。

答え: $- 9$

よくある誤り

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 x y z$ としてしまう誤り。引くのは 3 つの積ではなく、2 つずつ掛けた積の和の 2 倍です。正しくは $x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$ です。
$- 3 x y z$ を忘れて $x^{3} + y^{3} + z^{3} = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$ としてしまう誤り。正しくは $x^{3} + y^{3} + z^{3} = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) + 3 x y z$ です。
2 変数の公式をまねて $x^{3} + y^{3} + z^{3} = p^{3} - 3 pq$ としてしまう誤り。正しくは $x^{3} + y^{3} + z^{3} = p^{3} - 3 pq + 3 r$ です（ $p (p^{2} - 3 q) + 3 r$ を展開した形）。
$p, r, x^{3} + y^{3} + z^{3}$ から $q$ を求めるとき、 $p = 0$ でも $p$ で割って $q$ を出してしまう誤り。 $p = 0$ だと式は $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 r$ となり $q$ が含まれないので、 $q$ は決まりません。 $q = \frac{p ^{3} + 3 r - ( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} )}{3 p}$ が使えるのは $p \neq = 0$ のときだけです。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

3 変数のべき和の漸化式（数学I 数と式）
3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）