数と式の問題

3 変数の対称式は、$x+y+z$, $xy+yz+zx$, $xyz$ を使って表すことができます。

手順 1：$x^2+y^2+z^2$ を求める

$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ より、
$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)$$
です。値を代入すると、
$$x^2+y^2+z^2=3^2-2\cdot (-1)=9+2=11$$

手順 2：因数分解の公式を使う

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$
が成り立ちます。ここで
$$x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=11-(-1)=12$$
なので、
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=3\cdot 12=36$$

手順 3：$x^3+y^3+z^3$ を求める

$xyz=-2$ より $3xyz=-6$ です。よって
$$x^3+y^3+z^3=36+3xyz=36+(-6)=30$$

答えは $30$ です。

基本対称式を $e_1=x+y+z=3,e_2=xy+yz+zx=-1,e_3=xyz=-2$ とおく。

恒等式
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\{(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)\}$
を使う。

まず $x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)=9+2=11$ である。

よって
$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\{11-(-1)\}=3\cdot (-2)+3\cdot 12=-6+36=30$。

検算:
別の式 $x^3+y^3+z^3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3=27+9-6=30$ となり一致する。

実数解の存在確認:
$x,y,z$ は $t^3-3t^2-t+2=0$ の解である。
$f(t)=t^3-3t^2-t+2$ とおくと $f(-1)=-1<0,f(0)=2>0,f(1)=-1<0,f(4)=14>0$ である。
したがって $-1<t<0,0<t<1,3<t<4$ にそれぞれ実数解があり、条件を満たす実数 $x,y,z$ は存在する。

答え: $30$