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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 5, x y + y z + z x = - 3$
を満たすとき、 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

3 変数のべき和の漸化式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$x^{2} + y^{2} + z^{2}$ を、与えられた $x + y + z$ と $x y + y z + z x$ で表すことを考えましょう。

ヒント 2

$(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + z x)$ を使います。

ヒント 3

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$ と変形できるので、あとは $5$ と $- 3$ を代入します。

答えと解説

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31

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$(x + y + z)^{2}$ を展開すると
$(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x$
となります。これを $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ について解くと
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$
です。

値を代入する

$x + y + z = 5$ 、 $x y + y z + z x = - 3$ を代入して
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5^{2} - 2 \cdot (- 3) = 25 + 6 = 31$

よって $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 31$ です。

別解

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)$ を用いる。
$= 5^{2} - 2 \cdot (- 3) = 25 + 6 = 31$ 。
検算：条件を満たす実数が存在するか確認する。 $t^{3} - 5 t^{2} - 3 t - k = 0$ の形で $x, y, z$ が実数となる $k$ が存在する（例えば $f (t) = t^{3} - 5 t^{2} - 3 t$ の極大値と極小値の間に $k$ をとれば3実数解をもつ）ので、条件を満たす実数は存在し、値は常に31である。

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