3 次式までの展開と因数分解

$x$ を実数とする。式 $$(2x+3{)}^3$$ を展開したとき、$x^2$ の係数を求めよ。

$x$ を変数とする。式 $(2x-3{)}^3$ を展開したときの $x^2$ の係数を求めよ。

$x$ を実数とする。次の式を展開せよ。$$(2x-3{)}^3$$

関数 $f(x)=x^3+2x$ について、$x=1$ における微分係数 $f^{\prime }(1)$ を、定義
$$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
に従って求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ について、$x=2$ における微分係数 $f^{\prime }(2)$ を、定義
$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$
に従って求めよ。

関数 $f(x)=x^3+x$ について、$x=2$ における微分係数 $f^{\prime }(2)$ を、定義
$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$
にしたがって求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ の $-2\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。答えは $x$, $t$ の式で表せ。

関数 $u(t,x)$（$0\le t\le 2$, $x\in \mathbb{R}$）は、$t$ について $1$ 回、$x$ について $2$ 回連続微分可能で、$x$ について多項式増大度をもつとする。さらに、次の終端値問題の解であるとする。
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{2}u=0(0\le t<2,x\in \mathbb{R}),u(2,x)=x^3.$$
ファインマン・カッツの公式を用いて、$u(0,1)$ の値を求めよ。

$r=\frac{1}{2}\log 5$ とする。関数 $u(t,x)$ $(0\le t\le 2,x\in \mathbb{R})$ は $[0,2]\times \mathbb{R}$ 上で連続、$[0,2)\times \mathbb{R}$ 上で $t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能であり、ある定数 $C>0$ に対して $|u(t,x)|\le C(1+|x{|}^3)$ を満たす。さらに $u$ は終端値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-ru=0(0\le t<2,x\in \mathbb{R}),u(2,x)=x^3$$
の解であるとする。ファインマン・カッツの公式を用いて $u(0,1)$ の値を求めよ。

公比が実数である等比数列 $\{a_n\}$ が
$$a_1+a_2+a_3=7,a_4+a_5+a_6=56$$
を満たしている。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n\geqq 2000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。関数
$$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+1$$
が $x=-1$ で極大値 $8$ をとるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

曲線 $y=x(x-2{)}^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ とする。$\sin \theta \cos \theta =-\frac{12}{25}$ のとき、${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta$ の値を求めよ。

$a,b,c$ を実数とする。次の行列式を $a,b,c$ の式で求めよ。
$$\left|\begin{array}{ccc}1+a& 1& 1\\ 1& 1+b& 1\\ 1& 1& 1+c\end{array}\right|$$

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。

$q$ を素数べきとし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。射影空間 ${\mathbb{P}}^3$ の 2 次曲面
$$Q:XW=YZ$$
の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点の集合を
$$Q({\mathbb{F}}_q)=\{[X:Y:Z:W]\in {\mathbb{P}}^3({\mathbb{F}}_q)\mid XW=YZ\}$$
と定める。ここで ${\mathbb{P}}^3({\mathbb{F}}_q)$ は、${\mathbb{F}}_q^4\setminus \{0\}$ を「$0$ でない $\lambda \in {\mathbb{F}}_q$ によって $v\sim \lambda v$」という同値関係で割った集合である。このとき
$$\#Q({\mathbb{F}}_q)=(q+1{)}^2$$
であることを証明せよ。ただし、$Q$ と ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ の同型（セグレ埋め込み）は用いず、方程式の解を直接数えること。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値）$-$（極小値）$=8$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

放物線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}(-2,0)$, $\mathrm{B}(2,0)$ とする。実数 $t$ が $0<t<2$ の範囲を動くとき、放物線上の 2 点 $\mathrm{P}(t,4-t^2)$, $\mathrm{Q}(-t,4-t^2)$ をとる。四角形 $\mathrm{ABPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ の極大値と極小値の差が $27$ であるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x,y$ についての 2 次式
$$2x^2+3xy-2y^2+5x+ay-3$$
が、実数を係数とする $x,y$ の 1 次式の積に因数分解できるような $a$ の値をすべて求めよ。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$，$\theta \ne 90^{\circ }$ とする。$$\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta =-\frac{1}{2}$$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta$ の値を求めよ。

実数 $x$ は $x<0$ を満たし、さらに
$$4^x+4^{-x}=23$$
を満たしている。このとき、
$$\frac{8^x-8^{-x}}{2^x+2^{-x}}$$
の値を求めよ。

$n$ を整数とする。$n^4+4$ が素数となるような $n$ の値をすべて求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-3x+2$ に対し、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を初期値 $x_0=2$ で適用する。このとき数列 $(x_n)$ は $f$ の零点 $x=1$ に収束し、すべての $n$ で $x_n>1$ となることが知られている。

$x_2$ の値と、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-1}{x_n-1}$$
の値を、この順に組で求めよ。$x_2$ は既約分数で答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-5$ の正の実数解を $\alpha =\sqrt[3]{5}$ とする。初期値 $x_0=2$ からニュートン法 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$ で数列 $\{x_n\}$ を定めると、すべての $n$ について $x_n>\alpha$ であり、$x_n\to \alpha$ $(n\to \infty )$ となる。このとき、極限 $$C=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^2}$$ の値を求めよ。

$a,b,c$ は $1$ でない正の実数で、
$${\log }_{a}b={\log }_{b}c={\log }_c\left(a^{6}b\right)$$
が成り立っている。このとき、${\log }_{ab}c$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを無作為に横一列に並べる。$1\leqq i\leqq n-1$ を満たす整数 $i$ のうち、$i$ と書かれたカードと $i+1$ と書かれたカードが隣り合っている（順序は問わない）ものの個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=2$ を満たしながら動くとき、
$$P=x^3+y^3+3xy$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=2,x^3+y^3+z^3=8,xyz=-18$$
を満たしている。このとき、$x^6+y^6+z^6$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=x+\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$f(x)$ は実数全体で単調に増加するので、逆関数 $g(x)$ をもつ。このとき、$g^{\prime \prime }(2+\log 5)$ の値を求めよ。

$x={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{\frac{1}{3}}$ とする。このとき、$x^5-x^{-5}$ の値を求めよ。

$x$ は $0\leqq x<2\pi$ かつ $x\ne \pi$ を満たす実数とする。不等式
$$2\sin x-2\cos x-1\geqq \tan \frac{x}{2}$$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

$n$ を整数とする。$$n^4-12n^2+16$$ の値が素数となるような $n$ をすべて求めよ。

$m$ を実数の定数とする。$x$ についての 2 次方程式 $$x^2-mx+3m+5=0$$ の 2 つの解がともに整数となるような $m$ の値をすべて求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n^4+n^2+1}$$
ただし $n$ は正の整数を動く。答えは双曲線関数 $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ を用いて表してよい。

実数値の確率変数 $X$ が $P(0\le X\le 1)=1$ を満たすとする（$X$ は離散型でも連続型でもそれ以外でもよい）。確率変数 $Z$ の分散を $V(Z)=E\left[(Z-E[Z]{)}^2\right]$ とする。このとき、すべての正の整数 $n$ に対して
$$V(X^n)\le n^{2}V(X)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、期待値の線形性と単調性（確率 $1$ で $U\le W$ が成り立つ有界な確率変数 $U,W$ に対して $E[U]\le E[W]$）は用いてよい。

整式 $x^{100}$ を ${\left(x^2+x+1\right)}^2$ で割ったときの余りを求めよ。

整数 $a,b$ は $1\leqq b\leqq 100$ を満たすとする。$x$ についての 2 次方程式 $$x^2+ax+b=0$$ が虚数解をもち、その虚数解の 1 つを $\alpha$ とするとき、${\alpha }^6$ が実数となるような整数の組 $(a,b)$ の個数を求めよ。

$f(x)$ は実数を係数とする $3$ 次以下の整式で、$0\le x\le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して
$$|f(x)|\le 1$$
が成り立つとする。このような $f(x)$ すべてを考えるとき、$f^{\prime }(1)$ の最大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値から最小値を引いた値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$m$ を $0<m<2$ を満たす実数とする。曲線 $C:y=|x^2-1|$ と直線 $\ell :y=m(x+1)$ で囲まれた部分は $2$ つある。それらの面積の和を $S(m)$ とする。$m$ が $0<m<2$ の範囲を動くとき、$S(m)$ の最小値を求めよ。

関数 $f(x)=x^4-2x^2$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、曲線 $$C:y=x^3-ax$$ を考える。$C$ 上の点 $\mathrm{P}$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ が $C$ と $\mathrm{P}$ 以外の点 $\mathrm{Q}$ を共有し、さらに $\mathrm{Q}$ における $C$ の接線が $\ell$ と直交するとき、点 $\mathrm{P}$ を「よい点」とよぶ。$C$ 上のよい点がちょうど $4$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。