図形と計量の問題

まず $\sin \theta -\cos \theta$ の値を求める。

相互関係 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を用いると
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =1-2\cdot \left(-\frac{12}{25}\right)=\frac{49}{25}$$
となる。

次に符号を調べる。$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ である。$\sin \theta \cos \theta <0$ なので $\cos \theta <0$ である。よって $\sin \theta -\cos \theta >0$ であり、
$$\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}$$
となる。

因数分解の公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ を使うと
$${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =(\sin \theta -\cos \theta )({\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta )=(\sin \theta -\cos \theta )(1+\sin \theta \cos \theta )$$
である。これに値を代入して
$${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =\frac{7}{5}\cdot \left(1-\frac{12}{25}\right)=\frac{7}{5}\cdot \frac{13}{25}=\frac{91}{125}$$
を得る。

（検算）条件を満たす $\theta$ では $(\sin \theta ,\cos \theta )=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ または $\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ である。どちらの場合も ${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =\frac{64}{125}+\frac{27}{125}=\frac{91}{125}$ となり、上の結果と一致する。

答えは $\frac{91}{125}$ である。

$\sin \theta \cos \theta =-\frac{12}{25}<0$ で、$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ なので $\cos \theta <0$。

$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$。
$\sin \theta -\cos \theta >0$ なので $\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}$。

${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =(\sin \theta -\cos \theta )(1+\sin \theta \cos \theta )=\frac{7}{5}\cdot \left(1-\frac{12}{25}\right)=\frac{7}{5}\cdot \frac{13}{25}=\frac{91}{125}$。

検算：$\sin \theta +\cos \theta =\pm \frac{1}{5}$ で、$\sin \theta -\cos \theta =\frac{7}{5}$ とから $(\sin \theta ,\cos \theta )=(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$ または $(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$。積は $-\frac{12}{25}$ で適する。
(4/5,-3/5): $\frac{64}{125}+\frac{27}{125}=\frac{91}{125}$。
(3/5,-4/5): $\frac{27}{125}+\frac{64}{125}=\frac{91}{125}$。一致する。