図形と計量の問題

3 辺の長さが分かっているので、まず余弦定理で 1 つの角を求め、次に正弦定理で外接円の半径を求める。

角 $A$ を求める。 角 $A$ の対辺は $\mathrm{BC}=7$ である。余弦定理より
$$\cos A=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}}=\frac{64+25-49}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$
となる。$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ なので $A=60^{\circ }$ であり、
$$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
である。

外接円の半径を求める。 正弦定理より
$$\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}=2R$$
である。よって
$$2R=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$$
となり、
$$R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$
を得る。

答え: $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

辺を a=BC=7, b=CA=5, c=AB=8 とおく。余弦定理より、角 C の対辺は AB=8 なので $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$。よって $\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{\sqrt{48}}{7}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。正弦定理より $2R=\frac{c}{\sin C}=\frac{8}{4\sqrt{3}/7}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ なので $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
検算：ヘロンの公式で s=10、面積 $S=\sqrt{10\cdot 3\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$。$R=\frac{abc}{4S}=\frac{280}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ で一致する。