図形と計量の問題

$a=\mathrm{BC}=4$，$b=\mathrm{CA}=5$，$c=\mathrm{AB}=6$ とする。

$\cos A$ と $\sin A$ 余弦定理より
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+36-16}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}.$$
$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ より $\sin A>0$ なので
$$\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$$

外接円の半径 $R$ 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ より
$$2R=\frac{4}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{16}{\sqrt{7}},R=\frac{8}{\sqrt{7}}.$$

面積 $S$
$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4}.$$

内接円の半径 $r$ $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ より
$$\frac{15\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{2}r\cdot 15,r=\frac{\sqrt{7}}{2}.$$

比
$$\frac{R}{r}=\frac{8}{\sqrt{7}}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}.$$

$a=BC=4,b=CA=5,c=AB=6$ とする。$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15}{2}$。

ヘロンの公式より面積 $S=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{1575}{16}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$。

内接円: $S=rs$ より $r=\frac{S}{s}=\frac{15\sqrt{7}/4}{15/2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

外接円: $S=\frac{abc}{4R}$ より $R=\frac{abc}{4S}=\frac{120}{15\sqrt{7}}=\frac{8}{\sqrt{7}}$。

したがって $\frac{R}{r}=\frac{8}{\sqrt{7}}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}$。

検算: 余弦定理より $\cos A=\frac{25+36-16}{60}=\frac{3}{4}$、$\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$。正弦定理で $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4}{\sqrt{7}/2}=\frac{8}{\sqrt{7}}$ ✓。