図形と計量の問題

$\cos B$, $\sin B$ を求める

余弦定理より
$$\cos B=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{CA}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}}=\frac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$
$0^{\circ }<B<180^{\circ }$ より $\sin B>0$ なので
$$\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$

外接円の半径 $R$

正弦定理より $\frac{\mathrm{CA}}{\sin B}=2R$ であるから
$$2R=\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{35}{2\sqrt{6}},R=\frac{35}{4\sqrt{6}}=\frac{35\sqrt{6}}{24}$$

内接円の半径 $r$

面積を $S$ とすると
$$S=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\sin B=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}$$
また $S=\frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA})=\frac{1}{2}r\cdot 18=9r$ なので
$$9r=6\sqrt{6},r=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

比を求める
$$\frac{R}{r}=\frac{35\sqrt{6}}{24}\cdot \frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{105}{48}=\frac{35}{16}$$

$s=\frac{5+6+7}{2}=9$。ヘロンの公式より面積 $K=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$。外接円の半径は $R=\frac{abc}{4K}=\frac{5\cdot 6\cdot 7}{4\cdot 6\sqrt{6}}=\frac{210}{24\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}$。内接円の半径は $r=\frac{K}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。よって $\frac{R}{r}=\frac{35}{4\sqrt{6}}\cdot \frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{105}{48}=\frac{35}{16}$。検算: $\cos B$ ($\mathrm{AC}=7$ の対角が $B$) は $\frac{25+36-49}{60}=\frac{1}{5}$、$\sin B=\frac{2\sqrt{6}}{5}$、正弦定理から $2R=\frac{7}{\sin B}=\frac{35}{2\sqrt{6}}$ で $R=\frac{35}{4\sqrt{6}}$ と一致する。