図形と計量の問題

$a=\mathrm{BC}=7$, $b=\mathrm{CA}=5$, $c=\mathrm{AB}=3$ とおく。

角 $A$ を求める。 余弦定理より
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+9-49}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$$
$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ より $A=120^{\circ }$ であり、$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

外接円の半径 $R$。 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=2R$ より
$$R=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$

面積 $S$。
$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$$

内接円の半径 $r$。 $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ であり、$a+b+c=15$ だから
$$\frac{15\sqrt{3}}{4}=\frac{15}{2}r\text{より}r=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

比を求める。
$$\frac{R}{r}=\frac{7\sqrt{3}}{3}÷\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{14}{3}$$

よって $\frac{R}{r}=\frac{14}{3}$ である。

3辺の長さは $3,5,7$ である。最大辺 $\mathrm{BC}=7$ の対角 $A$ について、余弦定理より $\cos A=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$ なので $A=120^{\circ }$、$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

面積は $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。

正弦定理より $2R=\frac{7}{\sin A}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ なので $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。

$s=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$ なので、$S=rs$ より $r=\frac{15\sqrt{3}/4}{15/2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって $\frac{R}{r}=\frac{7}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{14}{3}$。

検算：$R\approx 4.041$、$r\approx 0.866$ で、比は約 $4.667=\frac{14}{3}$ となり一致する。