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図形と計量

扱うテーマ: 三角比の値と相互関係、0°〜180° の三角比を含む方程式・不等式、正弦定理・余弦定理、三角形の面積・内接円と外接円の半径、空間図形の計量（四面体の体積など）

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
$∠ C = 9 0^{\circ}$ の直角三角形 $ABC$ において、 $AB = 17$ , $BC = 8$ である。 $cos A$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $17$ $8$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$θ$ は $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ を満たす角で、 $sin θ = \frac{2}{3}$ である。このとき、 $cos θ$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 3$ , $CA = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ である。辺 $BC$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $3$ $5$ $12 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 3$ , $AC = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ である。辺 $BC$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $3$ $8$ $6 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 4$ 、 $∠ A = 4 5^{\circ}$ 、 $∠ B = 6 0^{\circ}$ である。辺 $CA$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $4$ $4 5^{\circ}$ $6 0^{\circ}$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ である。辺 $CA$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $6$ $4 5^{\circ}$ $6 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 3$ , $CA = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ である。辺 $BC$ の長さを求めよ。
$B$ $C$ $A$ $3$ $5$ $12 0^{\circ}$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。方程式
$2 sin^{2} θ + 3 cos θ - 3 = 0$
を満たす $θ$ について、 $sin θ$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。 $θ$ が方程式
$2 sin^{2} θ + 3 cos θ - 3 = 0$
を満たすとき、 $sin θ$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。 $θ$ が方程式
$2 sin^{2} θ + 3 cos θ - 3 = 0$
を満たすとき、 $sin θ$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ とする。 $sin θ + cos θ = \frac{1}{3}$ が成り立つとき、 $sin θ - cos θ$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ とする。 $sin θ + cos θ = \frac{2}{3}$ が成り立つとき、 $sin θ - cos θ$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ とする。 $sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ が成り立つとき、 $sin θ - cos θ$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $AC = 3$ , $∠ BAC = 6 0^{\circ}$ とする。 $∠ BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $6$ $3$ $6 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $AC = 3$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ である。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $6$ $3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 6$ , $AC = 3$ , $∠ BAC = 6 0^{\circ}$ である。 $∠ BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $6$ $3$ $6 0^{\circ}$
$∠ BAC = 6 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
四面体 $PABC$ において、
$AB = AC = 4, ∠ BAC = 12 0^{\circ}, PA = PB = PC = 5$
である。この四面体の体積 $V$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $4$ $4$ $5$ $5$ $5$ $12 0^{\circ}$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
四面体 $PABC$ において、 $AB = 3, BC = 7, CA = 8, PA = PB = PC = 17$ である。この四面体の体積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $3$ $7$ $8$
$PA = PB = PC = 17$
難易度 1（教科書の例題レベル）
四面体 $PABC$ において、
$AB = 8, BC = 13, CA = 15, PA = PB = PC = 13$
である。この四面体の体積 $V$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $8$ $13$ $15$ $13$ $13$ $13$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$cos^{2} θ + 2 sin θ + a = 0 (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$cos^{2} θ + 2 sin θ = a (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
$x$ $y$ $O$
単位円の上半分で、 $sin θ$ の値が等しくなる $2$ 点の例
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$2 cos^{2} θ + 2 sin θ = a (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ がちょうど $4$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $y = t$
単位円の上半分： $0 < t < 1$ のとき $sin θ = t$ となる $θ$ は 2 個
難易度 1（教科書の例題レベル）
四面体 $ABCD$ において、
$AB = AC = 5, BC = 6, AD = 4$
であり、辺 $AD$ は平面 $ABC$ に垂直である。頂点 $A$ と平面 $BCD$ との距離を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $5$ $5$ $6$ $4$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
四面体 $ABCD$ において、辺 $DA$ は平面 $ABC$ に垂直であり、
$AB = 3, BC = 4, DA = 4, ∠ ABC = 9 0^{\circ}$
である。点 $A$ と平面 $DBC$ の距離 $d$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $3$ $4$ $4$
難易度 1（教科書の例題レベル）
四面体 $ABCD$ において、
$AB = AC = 5, BC = 6, AD = 4$
であり、辺 $AD$ は平面 $ABC$ に垂直である。点 $A$ から平面 $BCD$ に下ろした垂線の長さ $d$ を求めよ。
$B$ $C$ $A$ $D$ 6554
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。方程式
$2 cos^{2} θ + sin θ - 2 = 0$
を満たす $θ$ について、 $tan θ$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ とする。 $sin θ cos θ = - \frac{12}{25}$ のとき、 $sin^{3} θ - cos^{3} θ$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 8$ , $BC = 7$ , $CA = 5$ とする。 $△ ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ 875
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。 $θ$ は方程式
$3 cos^{2} θ - 2 sin θ - 2 = 0$
を満たし、さらに $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ である。このとき、 $tan θ$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 3$ , $BC = 7$ , $CA = 5$ である。 $△ ABC$ の外接円の半径を $R$ 、内接円の半径を $r$ とするとき、 $\frac{R}{r}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $3$ $7$ $5$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、
$sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8$
が成り立ち、 $△ ABC$ の面積は $103$ である。 $△ ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ , $θ \neq = 9 0^{\circ}$ とする。
$tan θ + \frac{1}{tan θ} = - \frac{13}{6}$
が成り立つとき、 $sin θ - cos θ$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において、 $BC = 21$ , $CA = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ である。辺 $AB$ の長さとして考えられる値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ ABC$ において， $BC = 4$ ， $CA = 5$ ， $AB = 6$ である。 $△ ABC$ の外接円の半径を $R$ ，内接円の半径を $r$ とするとき， $\frac{R}{r}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $4$ $5$ $6$
難易度 3（共通テストレベル）
四面体 $ABCD$ において、
$AB = AC = AD = BC = 7, CD = 5, DB = 8$
であるとする。頂点 $D$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さを求めよ。
$A$ $D$ $C$ $B$ 777587
難易度 3（共通テストレベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ ， $θ \neq = 9 0^{\circ}$ とする。
$tan θ + \frac{1}{tan θ} = - 4$
が成り立つとき， $sin^{3} θ - cos^{3} θ$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
四面体 $PABC$ において、 $AB = 5$ , $BC = 7$ , $CA = 8$ , $PA = PB = PC = 7$ である。この四面体の体積 $V$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $8$ $5$ $7$ $7$ $7$ $7$
難易度 3（共通テストレベル）
四面体 $OABC$ において、 $AB = 7$ , $BC = 5$ , $CA = 8$ , $OA = OB = OC = 7$ である。この四面体の体積 $V$ を求めよ。
$C$ $B$ $A$ $O$ $8$ $5$ $7$ $7$ $7$ $7$
難易度 3（共通テストレベル）
$9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ とする。
$3 sin θ + cos θ = 5$
が成り立つとき、 $\frac{sin θ}{1 + cos θ}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
三角形 $ABC$ において、 $BC = 13$ 、 $AB + AC = 17$ 、 $∠ BAC = 6 0^{\circ}$ である。三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ 、内接円の半径を $r$ とするとき、 $\frac{R}{r}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $13$ $6 0^{\circ}$
難易度 3（共通テストレベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ ， $θ \neq = 9 0^{\circ}$ とする。 $\frac{1}{cos θ} - tan θ = - \frac{1}{2}$ が成り立つとき， $sin θ - cos θ$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
一辺の長さが $6$ の立方体 $ABCD - EFGH$ がある。ただし、四角形 $ABCD$ と四角形 $EFGH$ は向かい合う面であり、辺 $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ は互いに平行である。辺 $AE$ の中点を $M$ とする。頂点 $A$ から 3 点 $M$ , $B$ , $D$ を通る平面に下ろした垂線の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ $H$ $M$ $6$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 5$ , $BC = 6$ , $CA = 7$ である。 $△ ABC$ の外接円の半径を $R$ 、内接円の半径を $r$ とするとき、 $\frac{R}{r}$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $5$ $6$ $7$
難易度 3（共通テストレベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ ， $θ \neq = 9 0^{\circ}$ とする。 $θ$ が不等式 $2 cos^{2} θ + 5 sin θ - 4 ≧ 0$ を満たすとき， $tan θ$ のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 5$ , $AC = 3$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると、 $AD = \frac{15}{8}$ であった。 $△ ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $\frac{15}{8}$ 53
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $∠ A = 6 0^{\circ}$ であり、外接円の半径は $\frac{7 3}{3}$ 、内接円の半径は $3$ である。 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $6 0^{\circ}$
図は正確とは限りません
難易度 3（共通テストレベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。 $θ$ についての方程式
$29 - 16 cos θ - 12 sin θ + 5 - 4 sin θ = 25$
はただ 1 つの解をもつ。その解 $θ$ に対する $cos θ$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 5$ , $BC = 7$ , $CA = 8$ である。 $△ ABC$ の内部の点 $P$ が
$∠ APB = ∠ BPC = ∠ CPA = 12 0^{\circ}$
を満たすとき、 $PA + PB + PC$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $5$ $7$ $8$
$∠ APB = ∠ BPC = ∠ CPA = 12 0^{\circ}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
四面体 $OABC$ において、
$OA = OB = OC = 7, AB = 5, BC = 7, CA = 8$
であるとする。頂点 $A$ から平面 $OBC$ までの距離を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ 777587
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $ABC$ において、 $BC = 7$ であり、外接円の半径は $\frac{7 3}{3}$ 、内接円の半径は $3$ である。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $AD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ 7
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$4 cos^{2} θ + 3 sin θ + a - 4 = 0 (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ がちょうど $4$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ ABC$ において $AB = 3$ , $AC = 5$ とする。 $∠ A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると、 $AD = \frac{15}{8}$ であった。このとき、 $△ ABD$ の外接円の半径を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $3$ $5$ $\frac{15}{8}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $ABC$ において、 $AB = 8$ , $BC = 7$ , $CA = 5$ とする。 $∠ BAC$ の二等分線と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち、 $A$ でない方を $D$ とする。線分 $AD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $8$ $7$ $5$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$cos^{2} θ + (a - 2) sin θ + a - 4 = 0 (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ の個数が $3$ 個以上となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ ABC$ において、 $∠ A = 12 0^{\circ}$ とする。 $△ ABC$ の外接円の半径は $\frac{13 3}{3}$ 、内接円の半径は $3$ である。頂点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $12 0^{\circ}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
四面体 $OABC$ において、 $OA = 2, OB = 3, OC = 4, ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COA = 6 0^{\circ}$ である。頂点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さを求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $2$ $3$ $4$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = 4$ , $AC = 6$ とする。辺 $BC$ の中点を $M$ とすると、 $∠ BAM = 9 0^{\circ}$ であった。 $△ ABC$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $M$ $4$ $6$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ とする。
$y = \frac{sin θ + 1}{cos θ + 2}$
のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$AB = AC$ である二等辺三角形 $ABC$ において、外接円の半径が $\frac{25}{8}$ 、内接円の半径が $\frac{3}{2}$ である。辺 $BC$ の長さとしてありうる値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ を満たすすべての $θ$ に対して、不等式
$2 cos^{2} θ - sin^{2} θ - 2 a cos θ + a + 2 > 0$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の和 $S$ の値を求めよ。
$S = \frac{1}{1 - tan 9 1 ^{\circ}} + \frac{1}{1 - tan 9 2 ^{\circ}} + \frac{1}{1 - tan 9 3 ^{\circ}} + \dots + \frac{1}{1 - tan 17 9 ^{\circ}}$
ただし、 $S$ は $k = 91, 92, \dots, 179$ の $89$ 個の整数 $k$ について $\frac{1}{1 - tan k ^{\circ}}$ を加えたものである。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
四面体 $ABCD$ において、 $AB = CD = 13, AC = BD = 210, AD = BC = 35$ である。この四面体の 4 つの面すべてに接する球（内接球）の半径を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
円に内接する四角形 $ABCD$ において、 $AB = BC, CD = 3, DA = 8, ∠ ADC = 6 0^{\circ}$ である。対角線 $BD$ の長さを求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $3$ $8$ $6 0^{\circ}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ ， $θ \neq = 9 0^{\circ}$ とする。 $\frac{1}{sin θ} + \frac{1}{cos θ} = \frac{5}{12}$ が成り立つとき， $tan θ$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$sin θ + 2 cos θ = k (0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ})$
を満たす $θ$ がちょうど $2$ 個存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
中心が $O$ 、半径が $3$ の球面上に 4 点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ があり、
$AB = 4, CD = 25$
である。4 点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ がこの条件を満たしながら動くとき、四面体 $ABCD$ の体積の最大値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $4$ $25$
4 点の位置の一例